3148972992

1.4. Kołczan Auslandera-Reiten

dla wszystkich nieprojektywnych wierzchołków x 6 To. Załóżmy dodatkowo, że kołczan T jest skierowany, spójny i posiada skończoną liczbę r-orbit. Dla każdego wierzchołka x kołczanu T oznaczmy przez pełny podkoł-czan z translacją kołczanu T, którego zbiorem wierzchołków Ig jest zbiór wszystkich następników wierzchołka x. Przez dr oznaczać będziemy funkcję dr:roxFo—spełniającą warunki:

(1)    dr{x, y) = 0, jeśli nie istnieje droga z x do y\

(2)    dr{x, x) = 1;

(3)    jeśli x £ To, y ^ x jest wierzchołkiem projektywnym w to

dr (x,y)=    ^dr (^x>^s(“));

aeri,e(a)=2/

(4) funkcja dr(x, — )|_r(*) jest addytywna na dla dowolnego a; € To-

Można pokazać, że funkcja dr istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie przez powyższe warunki.

1.4. Kołczan Auslandera-Reiten

Ustalmy algebrę A. Niech X będzie nierozkładalnym A-modułem. Homo-morfizm f \ X —* Y nazwiemy minimalnym, lewym prawie rozszczepialnym odwzorowaniem, jeśli

(1)    / nie jest rozszczepialnym monomorfizmem;

(2)    dla każdego homomorfizmu g : X —> M, który nie jest nierozszcze-pialnym monomorfizmem, istnieje homomorfizm h : Y —» M taki, że g = hf;

(3)    jeśli endomorfizm a : Y —> Y spełnia warunek af = /, to a jest automorfizmem.

Analogicznie definiujemy minimalne prawe prawie rozszczepialne odwzorowania. Zauważmy, że minimalne prawie rozszczepialne odwzorowania są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu. Jeśli moduł P jest nierozkładalnym modułem projektywnym, to włożenie rad P —> P jest minimalnym prawym prawie rozszczepialnym odwzorowaniem. Jeśli nierozkładal-ny moduł Z nie jest projektywny, to także istnieje minimalne prawe prawie rozszczepialne odwzorowanie g : Y —> Z i jest ono epimorfizmem. Ponadto wtedy moduł Ker g jest nierozkładalny i włożenie Ker g —> Y jest minimalnym lewym prawie rozszczepialnym odwzorowaniem. W powyższej sytuacji