3148972993

1.4. Kołczan Auslandera-Reiten

piszemy Ker# = r_AZ. Podobnie, gdy I jest nierozkładalnym modułem in-jektywnym, to odwzorowanie ilorazowe I —> I/socI jest minimalnym lewym prawie rozszczepialnym odwzorowaniem. Dla nierozkładalnych modułów nieinjektywnych A minimalne lewe prawie rozszczepialne odwzorowania / : X —> Y są monomorfizmami takimi, że kanoniczne surjekcje Y —*Y/hnf są minimalne prawe prawie rozszczepialne. Piszemy Y/lmf = t~_aX. Zauważmy, że gdy nierozkładalny A-moduł Z nie jest projektywny, to taZ nie jest injektywny i t^(taZ) ~ Z. Podobnie ta(t^X) ~ X dla nierozkładalnego nieinjektywnego A-modułu X. „Funkcje” r_A i nazywamy translacjami Auslandera-Reiten.

Translacje Auslandera-Reiten znajdują zastosowanie przy liczeniu grup rozszerzeń. Niech M i N będą A-modułami. Przez Hom₄(M, N) oznaczać będziemy przestrzeń Homa(M,N) podzieloną przez podprzestrzeń utworzoną przez wszystkie homomorfizmy / : M —» N, dla których istnieją moduł projektywny P oraz homomorfizmy g : M —> P i h : P —> N takie, że / = hg (tzn. homomorfizmy faktory żujące się przez moduły projektywne). Podobnie Hom^(M, N) jest ilorazem przestrzeni Hom^(M, N) przez podprzestrzeń homomorfizmów, które faktoryzują się przez moduły injektywne. Dla dowolnych nierozkładalnych A-modułów X i Y mamy wzory, zwane WZORAMI Auslandera-Reiten [AuRe]

Ext\(X,Y) ~ DHom₄(r;y, X) ~ DH^_a{Y,t_aX),

przy czym w powyższych wzorach stosujemy umowę, że t_aX — 0, gdy X jest projektywny, oraz rjY = 0, jeśli Y jest injektywny.

Innym zastosowaniem translacji Auslandera-Reiten jest liczenie wymiarów homologicznych modułów. Dokładniej, jeśli X jest nierozkładalnym A-modułem, to pd^A > 1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje moduł injektywny I o własności Hom^J, r_AX) ^ 0 (równoważnie możemy napisać Hom^(D(A), t_aX) ^ 0). Analogicznie id^A > 1 jeśli Hom^rjA, A) ^ 0 (tzn. istnieje moduł projektywny P o własności Hom^r^A, P) ± 0). Zauważmy, że konsekwencją tych faktów jest prostsza postać wzorów Auslandera-Reiten dla modułów, których projektywny bądź injektywny wymiar nie przekracza 1. Mamy mianowicie wzory Ext^(A, Y) ~ D Hom^(r^Y, A) jeśli id^i Y < 1 i Ext^(A, Y) ~ D Hom^(Y, t_aX) jeśli pd^ A < 1.

Ciąg dokładny A-modułów

0 —* X M Y z —> o

nazwiemy ciągiem Auslandera-Reiten, jeśli moduły A i Z są nierozkładalne, zaś / i g są minimalnymi, odpowiednio lewym i prawym, odwzorowaniami