3148973000

Wstęp

to jej kołczan Auslandera-Reiten zbudowany jest z jednej składowej prepro-jektywnej, co najwyżej jednej rodziny rur promieniowych, składowej łączącej (która może być składową preprojektywną lub preinjektywną), co najwyżej jednej rodziny rur kopromieniowych, oraz jednej składowej preinjektywnej. Skończenie wymiarowy nierozkładalny moduł X nazywamy kierującym, jeśli nie istnieje ciąg X = Xq —> X\ —> • • • —> X_n-\ —> X_n = X, n > 1, niezero-wych nieizomorfizmów pomiędzy skończenie wymiarowymi nierozkładalnymi modułami. Ponadto skończenie wymiarowy moduł nazywamy wiernym, gdy wszystkie proste moduły pojawiają się jako ilorazy w jego ciągu kompozycyjnym.

Inaczej można zdefiniować wierność modułu korzystając z grupy Grothen-diecka i wektorów wymiaru. W przypadku kategorii skończenie wymiarowych modułów skończenie wymiarowej algebry A grupa Grothendiecka K₀(A) jest to grupa wolna, której wolne generatory stanowi zbiór klas izomorfizmów prostych A-modułów. Z każdym skończenie wymiarowym modułem M możemy związać wektor wymiaru dimM G K₀(A), którego współrzędne zliczają krotności wystąpień poszczególnych modułów prostych jako ilorazów w ciągu kompozycyjnym modułu M. Zatem moduł jest wierny, gdy wszystkie współrzędne jego wektora wymiaru są niezerowe. Jeżeli A ma skończony wymiar globalny, to na grupie Grothendiecka Kq{A) mamy określoną homologiczną formę Eulera xa , która spełnia warunek

oo

X^(dimM) = y^-iy dinijr Ext^(M, M) i=o

dla dowolnego skończenie wymiarowego A-modułu M. Okazuje się, że forma ta może być wykorzystywana do określania typu reprezentacyjnego algebr. Kerner udowodnił bowiem [Kel], że algebra odwrócona A jest oswojona wtedy i tylko wtedy, gdy jej forma Eulera jest słabo nieujemna, tzn. x>i(^x) > 0 dla każdego wektora x G Ko(A) o nieujemnych współrzędnych.

Forma Eulera odgrywa również ważną rolę w opisie skończenie wymiarowych nierozkładalnych modułów. Mówimy, że forma Eulera xa kontroluje kategorię skończenie wymiarowych A-modułów, jeśli na wektorach wymiaru skończenie wymiarowych nierozkładalnych A-modułów przyjmuje tylko wartości 0 i 1, dla każdego spójnego wektora dodatniego d G Kq(A) takiego, że X>i(d) = 1, istnieje dokładnie jeden (z dokładnością do izomorfizmu) nierozkładalny A-moduł X taki, że dimX = d, oraz dla każdego spójnego wektora dodatniego d G Kq(A) takiego, że X/i(d) = 0, istnieje nieskończenie wiele parami nieizomorficznych nierozkładalnych A-modułów o wektorze wymiaru d. Dobrze znanym faktem udowodnionym przez Ringela [Ri2] jest, że jeśli A

6