3148973320

1.    Na podstawie serii stóp zwrotu z indeksu policzyliśmy średnią stopę zwrotu i odchylenie standardowe tej stopy zwrotu. W kategorii rocznej wynoszą odpowiednio 6% i 10%. Przyjmując, że obliczyliśmy je poprawnie i proces cenowy może być opisany poprzez geometryczny ruch Browna ze stałymi w czasie parametrami podaj rozkład stóp zwrotu w horyzoncie rocznym i horyzoncie 3M.

Zarys rozwiązania: Rozkład dla stóp zwrotu geometrycznego ruchu Browna o stałych w czasie parametrach to N(ln(S0)+(mu)*t, (sigma^A2)*t). Nie znając S0 za rok będzie to N(0,06; 0,01), natomiast za 3M N(0,06*0,25; 0,01*0,25).

2.    Masz portfel opcji, którego wartość wynosi 100, rynkowa stopa procentowa wynosi 5%, a delta i gamma wynoszą zero. Ile wynosi theta w modelu B-S?

Zarys rozwiązania: Przy deltcie=0 gamma=-theta (z równania różniczkowego B-S)

3.    Masz dwa typy opcji kupna w portfelu, 1000 opcji A oraz 2000 opcji B, o wartości odpowiednio 10 i 15, kursach wykonania 90 i 80 i terminach zapadalności 3M. Jak jest wrażliwość wartości całego portfela na upływ czasu, zmienność i cenę instrumentu bazowego, jeśli dla pierwszej opcji delta wynosi 0,1, gamma 0,125, theta -0,11, a vega 10, natomiast dla drugiej opcji opcji delta wynosi 0,15, gamma 0,175, theta -0,16, a vega 20? O ile zmieni się wartość Twojego portfela jeśli zaniedbywalnie małym odstępie czasu zmienność na rynku wzrosła o 0,05, a cena instrumentu bazowego spadła o 1?

Zarys rozwiązania: patrz wzrosy na wrażliwość w materiale wykładowym FinEng_9 oraz Waluś i Baryło, rozdział 10.4.

4.    Masz w portfelu długą pozycję w opcji sprzedaży z ceną wykonania Kl=90 oraz długą pozycję w opcji kupna z ceną wykonania K2=120, obie opcje z tym samym terminem zapadalności 3M, każda kosztowała 5. Po miesiącu cena aktywu wzrosła do 105, stopy procentowe nie zmieniły się, a cała płaszczyzna zmienności jest na tym samym poziomie co w momencie otwarcia kontraktu. Rynkowa cena opcji kupna wynosi 3, a opcji sprzedaży 4. O ile się zmieniły i ile wynoszą wartość czasowa i wartość wewnętrzna każdej z opcji?

Zarys rozwiązania: Początkowo każda z opcji miała wartość czasową 5 i wewnętrzną 0. Po miesiącu ich wartość wewnętrzna to nadal 0, bo żadna nie zostałaby wykonana, gdyby zapadały dziś. W rezultacie spadła tylko wartość czasowa, odpowiednio o 2 i 1.

5.    Cena opcji kupna z terminem zapadalności 3M i ceną wykonania K=100 wynosi 20-21 (bid-ask z punktu widzenia animatora rynku), a cena opcji sprzedaży dla tego samego horyzontu i kursu wykonania wynosi 15-17 (znów bid- ask z punktu widzenia animatora rynku). Te opcje są płynne, ale na rynku jest relatywnie niewiele innych płynnych kontraktów opcyjnych, a dynamiczna replikacja okazuje się bardzo kosztowna. Stopa procentowa wynosi 6% w skali roku, exp(-0,06/4)=0,985. Czy przy tych danych możemy powiedzieć jaka jest cena instrumentu bazowego by nie było możliwości arbitrażu? Jeśli tak, podaj ją.

Zarys rozwiązania: Możemy powiedzieć, a wynika to za zasady parytetu kupna-sprzedaży, który jest warunkiem opartym o statyczną, a nie dynamiczną replikację. Użycie wzoru na put-call parity rozwiązuje zadanie.