plik

��MECHANIKA TEORETYCZNA Studia stacjonarne I stopnia rok akademicki 2013/14 WykBad 3 TEORIA R�WNOWA{NOZCI UKAAD�W SIA Autor: Henryk Laskowski Katedra Podstaw Mechaniki O[rodk�w CigBych Instytut Mechaniki Budowli WydziaB In|ynierii Ldowej 1 Cz[ 1 SIAY I UKAADY SIA 1.1. Moment siBy wzgldem punktu . r Definicja F � ____ B F B ___ Momentem siBy wzgldem punktu A AB nazywamy wektor r�wny iloczynowi M B wektorowemu siBy i wektora wyznaczone- go przez punkt zaczepienia siBy i punkt, ___ wzgldem kt�rego moment jest liczony M B ____ �� B B ��kierunek : M ^� F �� M ^� AB df ____ ____ �� M =� F �� AB : ��warto[ :| M |=�| F |��| AB |�� sin� B B �� ____ ��zwrot : F , AB, M B stanowi tr�jk prawoskrtn �� 3 Przesunicie siBy wzdBu| jej kierunku dziaBania F Przesunicie siBy wzdBu| jej kierunku dziaBania nie wpBywa B na zmian warto[ci momentu siBy wzgldem punktu R' ____ ____ ____ ____ _______ . ____ M =� F �� AR =� F �� (AB+� BR) =� F �� BR =� const R BR r F ____ R A AR ___ Rami dziaBania siBy F M R R' Jest to wektor prostopadBy do prostej . dziaBania siBy, kt�rego pocztek le|y na ____ tej prostej a koniec w punkcie, wzgldem R' R F kt�rego liczony jest moment siBy ____ R A AR ____ M =� F �� R' R ___ R M R 4 1.2. Moment siBy wzgldem prostej el Definicja F n Momentem siBy wzgldem prostej Ml nazywamy iloczyn wektorowy rzutu A siBy na pBaszczyzn prostopadB do tej ____ prostej wzgldem punktu przebicia A' O pBaszczyzny przez t prost. �� O � A' F� ��kierunek: Ml || l �� df ____ ____ �� Ml =� F �� A'O : ��warto[: | Ml |=�| F | �� | A'O | �� sin � � � �� ____ ��zwrot: F , A'O, Ml stanowi tr�jk prawoskrtn � �� 5 Twierdzenie o momencie siBy wzgldem prostej el �� F �� n �� F F� =� F -� �� n ___ �� n Fl Ml M n2 �� O �� F� A ____ �� _____ ____ ____ �� AO�� n �� A' O A' O =� AO-� �� n �� O n2 �� A' �� F� Twierdzenie Moment siBy wzgldem prostej jest r�wny �� MO �� n rzutowi momentu siBy wzgldem dowolnego �� Ml =� �� n �� punktu prostej na t prost. n2 �� Dow�d pominito 6 UkBad siB F1 An Fn �� Zbi�r siB wraz z punktami zaczepienia A1 �� Suma Moment A2 Fi F2 ukBadu siB ukBadu siB Ai �� S =� Fi M =� Fi �� AiR �� R i i F1 An PrzeksztaBcenie elementarne I-go rodzaju Fn �� Dodanie do ukBadu lub odjcie dw�ch siB �� A1 Fi �� przeciwnych dziaBajcych wzdBu| prostej F0 A2 F2 Ai �� -�F0 PrzeksztaBcenie elementarne II-go rodzaju Dodanie do ukBadu lub odjcie ukBadu siB F1 An Fn �� zbie|nych o sumie r�wnej 0 A1 �� Fi �� A2 F2 Ai �� PrzeksztaBcenia elementarne nie zmieniaj sumy i momentu ukBadu 7 1.3. Twierdzenie o zmianie bieguna F1 UkBad n siB Fn An A1 Ai - punkt zaczepienia siBy A2 Fi F2 Fi - siBa Ai �� B - biegun redukcji �� R - nowy biegun redukcji R �� B n n n ____ ____ ____ ____ �� M =� R ��F �� AiR =� ��F �� (AiB+� BR) =� M +� ��F �� BR i i B i �� i=�1 i=�1 �� i=�1 �� n df ____ S =� M =� M +� S �� BR i ��F R B i=�1 Twierdzenie Moment ukBadu siB wzgldem nowego bieguna jest r�wny sumie momentu tego ukBadu wzgldem starego bieguna i iloczynu wektorowego sumy ukBadu i wektora Bczcego stary biegun z nowym. 8 Wnioski z twierdzenia o zmianie bieguna Wniosek 1 Je|eli suma ukBadu jest r�wna 0 to moment ukBadu jest staBy, tzn. nie zale|y od bieguna, wzgldem kt�rego jest liczony Z: Suma ukBadu jest r�wna 0 S =� 0 M =� co n st T: Moment ukBadu jest staBy ____ S =�0 D: M =� M +� S �� AB �� M =� M B A B A 9 Wniosek 2 Je|eli momenty ukBadu liczone wzgldem trzech niewsp�Bliniowych punkt�w s r�wne to suma ukBadu jest r�wna 0 ____ ____ Z: Punkty A, B, C s niewsp�Bliniowe oraz M =� M =� MC AB�� AC �� 0 A B S =� 0 T: Suma jest r�wna 0 ____ ____ �� D: M =� M +� S �� AB �� S �� AB =� 0 B A �� S =� 0 �� ____ ____ MC =� M +� S �� AC�� S �� AC =� 0 A �� Wniosek 3 Iloczyn skalarny sumy i momentu liczonego wzgldem df dowolnego punktu jest dla danego ukBadu siB wielko[- K =� MO o� S =� const ci staB i nosi nazw parametru ukBadu siB ____ ____ D: M o� S =� (MO +� S �� OA) o� S =� MO o� S +� S o� (S �� OA) =� MO o� S A 10 1.4. R�wnowa|no[ ukBad�w siB O r�wnowa|no[ci ukBadu wektor�w (siB) mo|na m�wi wyBcznie w odniesieniu do rozwa|anego problemu. W mechanice teoretycznej rozwa|a si r�wnowa|no[ ukBad�w siB w odniesieniu do problemu redukcji. Definicja r�wnowa|no[ci ukBad�w siB �� F1 F2 ... Fi ... Fn �� R1 R2 ... Ri ... Rm �� Dwa ukBady i B =� A =� �� A1 A2 ... Ai ... An �� B1 B2 ... Bi ... Bm �� s r�wnowa|ne, je|eli mo|na, wykonujc na jednym z nich skoDczon liczb przeksztaBceD I-go i II-go rodzaju, przeksztaBci jeden ukBad w drugi. �� S (A) =� S (B) A �� B �� df : O -� dowolny punkt �� O O ��M (A) =� M (B) 11 PrzeksztaBcenie elementarne I go rodzaju PrzeksztaBcenie elementarne II go rodzaju R�wnowa|ne ukBady siB R�wnowa|ne ukBady siB 12 Twierdzenia o r�wnowa|no[ci ukBad�w siB Twierdzenie 1 Dwa ukBady s r�wnowa|ne, gdy maj r�wne sumy i r�wne momenty liczone wzgldem jednego (ustalonego) punktu. Dow�d Z: S (A ) =� S (B ) oraz MO (A ) =� MO (B ) A �� B T: ____ �� M (A) =� MO (A) +� S (A)�� OO'�� O' �� MO'(A) =� MO'(B) �� D: ____ �� M (B) =� M (B) +� S (B) �� OO' O' O �� 13 Twierdzenie 2 Dwa ukBady s r�wnowa|ne, gdy maj (odpowiednio) r�wne momenty liczone wzgldem trzech niewsp�Bliniowych punkt�w. Dow�d Z: Punkty O, O , O s niewsp�Bliniowe oraz MO (A ) =� MO (B ) MO'(A ) =� MO'(B ) MO"(A ) =� MO"(B ) czyli A �� B T: S (A ) =� S (B ) ____ ____ MO'(A) =� MO (A) +� S (A) �� OO' �� MO'(B) =� MO (B) +� S (B)�� OO' D: ____ ____ MO"(A) =� MO (A) +� S (A)�� OO" �� MO"(B) =� MO (B) +� S (B)�� OO" ____ ____ �� (�S (A) - S (B))�� OO' =� 0 �� (�S (A) - S (B))�� OO" =� 0 �� S (A) - S (B) =� 0 �� ____ ____ OO' nie jest r�wnolegBy do OO" �� 14 F -� (F +� G ) 1.5. Zerowy ukBad siB i para siB F -� F Zerowy ukBad siB G UkBad siB, kt�rego suma i moment liczony wzgldem dowolnego punktu S =� 0 �� M =� 0 jest wektorem zerowym. MO Para siB A F UkBad dw�ch niezerowych siB przeciw- nych nie le|cych na jednej prostej. � d �� 0 -� F � B �� kierunek : MO ^� � �� ____ ____ �� MO =� M =� F �� AB : ��warto[ :| MO |=�| F |��| AB |�� sin� =�| F |��d B �� ____ ��zwrot : F , AB, MO prawoskrtne 15 �� Cz[ 2 REDUKCJA UKAADU SIA 2.1. Redukcja ukBadu siB w punkcie Redukcja ukBad siB PrzeksztaBcenie polegajce na zastpieniu danego ukBadu siB r�wnowa|nym ukBadem prostszym, tj. zBo|onym z mniejszej liczby siB F2 +� F3 F1 F1 F2 F2 F3 F3 UkBad trzech siB UkBad r�wnowa|ny, zredukowany do dw�ch siB 17 Redukcja w punkcie (w biegunie redukcji) Zastpienie danego ukBadu ukBadem r�wnowa|nym, zBo|onym z wektora r�wnego sumie ukBadu i pary siB o momencie r�wnym momentowi ukBadu siB wzgldem bieguna redukcji Tok postpowania: F1 1. Wyb�r bieguna redukcji O F2 2. Wyznaczenie wektora S +� F zaczepionego w punkcie O F3 r�wnego sumie ukBadu G 3. Wyznaczenie momentu ukBadu MO F2 S siB wzgldem bieguna O n F 4. Wyznaczenie pary siB o momencie -�F r�wnym momentowi ukBadu wzgldem F1 bieguna redukcji, z kt�rych jedna jest zaczepiona w biegunie redukcji O F3 � 5. Redukcja ukBadu do dw�ch siB sko[nych poprzez dodanie siB zaczepionych w O 18 Cztery przypadki redukcji w punkcie Przypadek 1 (og�lny): S +� F S �� 0 �� M �� 0 G MO F2 S n F -�F F1 O F3 � UkBad siB redukuje si do wektora b = S zaczepionego w punkcie redukcji oraz pary siB o momencie MO r�wnym momentowi ukBadu siB wzgldem punktu redukcji 19 Cztery przypadki redukcji w punkcie - cd Przypadek 2: S +� F S �� 0 �� M =� 0 G MO F2 S n F -�F F1 O F3 � UkBad siB redukuje si do wektora b = S zaczepionego w punkcie redukcji 20 Cztery przypadki redukcji w punkcie - cd Przypadek 3: S +� F S =� 0 �� M �� 0 G MO F2 b =� S n F -�F F1 O F3 � UkBad siB redukuje si do pary siB o momencie MO r�wnym momentowi ukBadu siB wzgldem punktu redukcji 21 Cztery przypadki redukcji w punkcie - cd Przypadek 4: S +� F S =� 0 �� M =� 0 G MO F2 S n F -�F F1 O F3 � UkBad siB redukuje si do ukBadu zerowego 22 2.2. Redukcja ukBadu siB do najprostszej postaci Redukcja ukBad siB do najprostszej postaci PrzeksztaBcenie polegajce na zastpieniu danego ukBadu siB ukBadem r�wnowa|nym zBo|onym z najmniejszej liczby siB Redukcja w punkcie a redukcja do najprostszej postaci W problemie redukcji w punkcie biegun redukcji jest znany (wybrany lub zadany) natomiast w problemie redukcji do najprostszej postaci poszukuje si poBo|enia takich punkt�w, w kt�rych ukBad siB redukuje si do najprostszej postaci 23 Szczeg�lne przypadki redukcji do najprostszej postaci Przypadek 1: Je|eli w wybranym lub zadanym biegunie redukcji ukBad siB redukuje si do ukBadu zerowego to ukBad zerowy jest najprostszym zredukowanym ukBadem tego ukBadu siB S =� 0 �� MO =� 0 UkBad siB w ka|dym punkcie redukuje si do ukBadu zerowego O -� wybrany punkt Przypadek 2: Je|eli w wybranym lub zadanym biegunie redukcji ukBad siB redukuje si do pary siB o momencie r�wnym momentowi ukBadu siB wzgldem bieguna redukcji to para siB jest najprostszym zredukowanym ukBadem tego ukBadu siB S =� 0 �� MO �� 0 UkBad siB w ka|dym punkcie redukuje si do pary siB O -� wybrany punkt 24 Przypadek og�lny: parametr ukBadu jest r�|ny od 0 przykBad: �� a =� 1 2 3 b =� 1 1 -�1 c =� 3 -�2 1 (� )� (� )� (� )�� Dany jest ukBad trzech siB: �� A 0 0 1 B 1 1 1 C 1 1 -�1 (� )� (� )� (� )� �� S =� 1 2 3 +� 1 1 -�1 +� 3 -�2 1 =� 5 1 3 Suma ukBadu: (� )� (� )� (� )� (� )� Moment ukBadu 1 2 3 1 1 -�1 3 -�2 1 (� )� (� )� (� )� MO =� +� +� =� -�5 -�1 -�5 (� )� wzgldem punktu �� 0 0 -�1 �� -�1 -�1 -�1 �� -�1 -�1 1 (� )� (� )� (� )� (0, 0, 0): K =� S �� MO =� 5 1 3 o� -�5 -�1 -�5 =� -�41 Parametr ukBadu: (� )� (� )� R�wnanie parametryczne przypadkowo wybranej prostej: x =� � , y =� � , z =� -� Zadanie: Jak zmienia si r�wnowa|ny ukBad zredukowany w biegunie redukcji poruszajcym si wzdBu| wybranej prostej. 25 Rozwizanie zadania przy l zmieniajcym si w spos�b cigBy od 0 do 3 26 Przypadek og�lny: parametr ukBadu jest r�|ny od 0 rozwa|ania teoretyczne K MO =� K =� S o� MO =� S �� MO ��cos S ,MO =� const (� )� S �� cos S ,MO (� )� �� S =� MO �� MO S �� K S ,MO =� 0: MO =� �� S (� )� �� 2 K S �� MO =� �� S �� 0 �� MO �� min �� S ,MO �� (� )� �� S =� -� MO �� MO S �� K S ,MO =� �: MO =� �� S (� )� �� 2 K S �� MO =� -� �� S �� Punkty, w kt�rych ukBad siB o parametrze K r�|nym od 0 redukuje si do sumy i pary siB o momencie r�wnolegBym do sumy le| na prostej zwanej osi [rodkow UkBad siB w punktach osi [rodkowej redukuje si do skrtnika 27 Przypadek og�lny: parametr ukBadu jest r�|ny od 0 przykBad: Zadanie: Wyznaczy o[ [rodkow ukBadu siB z poprzedniego przykBadu a nastpnie zilustrowa zmiany r�wnowa|nego ukBadu zredukowanego gdy punkt redukcji porusza si po prostej przecinajcej si z osi [rodkow W osi [rodkowej ukBad redukuje si do sumy i pary siB o momencie K M =� �� S R 2 r�wnolegBym do sumy i osiga minimaln warto[ (skrtnik): S Wykorzystujc twierdzenie o zmianie bieguna formuBuje si wektorowe r�wnanie osi [rodkowej: K M =� �� S =� MO +� S ��OR , R x, y,z - punkt le|cy na osi [rodkowej (� )� R 2 S Przyr�wnujc odpowiednie wsp�Brzdne wyznacza si r�wnanie krawdziowe lub parametryczne osi [rodkowej �� x =� � �� 1 26 ��z -� 3y -� 5 1+� d =� 0 �� (� )� 41 �� y =� � -� 1+� d (� )� �� 3x -� 5z -� 1+� d =� 0 , gdzie d =� 5 15 (� )� 35 �� 3 1 z =� � -� 1+� d (� )� �� 5 5 28 29 Trzeci szczeg�lny przypadek redukcji do najprostszej postaci Przypadek 3: Suma ukBadu jest r�|na od zera a parametr jest r�wny 0 S �� 0 �� K =� 0 (moment ukBadu jest zawsze prostopadBy do sumy) K UkBad siB w ka|dym punkcie osi [rodkowej MO =� �� S =� 0 2 redukuje si do jednego wektora - wypadkowej S Definicja wypadkowej: Wypadkowa to ukBad siB r�wnowa|ny danemu zBo|ony z jednego wektora Wypadkowa dziaBa wzdBu| [ci[le okre[lonej prostej (prosta dziaBania wypadkowej, o[ [rodkowa) o tej wBasno[ci, |e moment ukBadu wzgldem punkt�w tej prostej jest r�wny 0 30

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Harm i Rygory MT st dzienne2014
sprawozdanie ŚT F 03
01 mt 03
2015 Diagnoza 2 ST amnezje itp 23 03 15 do pdf odblokowanyid(580
03 st nieust

więcej podobnych podstron