ROZDZIAA
III: Stany nieustalone
Temat 8 : Stan ustalony i nieustalony w obwodach
elektrycznych.
Dotychczas rozpatrywane obwody elektryczne prądu stałego i zmiennego
rozpatrywane były w tzw. stanie ustalonym. Charakterystyczne dla tego stanu jest to,
że przy określonych wartościach napięć i prądów z
ródłowych odpowiedz
obwodu
(prądy i napięcia na elementach) ma  taki sam charakter jak wymuszenie. Jeżeli
przykładowo działały w obwodzie wymuszenia stałe, to przyjmowaliśmy, że prądy i
napięcia we wszystkich gałęziach i napięcia na elementach są również stałe i nie
zmieniają się w czasie.
Należy sobie zdawać sprawę, że obwód elektryczny zawierający cewki i
kondensatory, tzn. elementy zdolne do gromadzenia energii elektrycznej, po
dołączeniu do z
ródła energii nie może natychmiast znalez
ć się w stanie ustalonym.
Elementy te przed dołączeniem do z
ródła mogły znajdować się w stanie
bezenergetycznym lub z elementami tymi mogła być związana pewna energia.
Z przytoczonych rozważań wynika, że zarówno w obwodzie, który zostaje
dołączony do z
ródła energii, jak i w obwodzie, w którym następuje zmiana
struktury, powstaje stan nieustalony.
Pojęcie stanu ustalonego i stanu nieustalonego odnoszą się nie tylko do
obwodów, w których działają napięcia i prądy z
ródłowe stałe w czasie. Bezpośrednio
po dołączeniu z
ródeł stałych lub zmiennych w czasie lub po dokonaniu zmiany
struktury obwodu, w obwodzie powstaje stan nieustalony i w miarę upływu czasu
następuje ustalanie się przebiegów napięć i prądów.
Ponieważ w stanach nieustalonych mogą pojawić się przepięcia jak i
przetężenia, znajomość zmienności prądów i napięć w funkcji czasu ma istotne
znaczenie. Z reguły napięcia i prądy w stanie nieustalonym charakteryzują się inną
zmiennością w czasie niż w stanie ustalonym.
Temat 9 : Warunki początkowe. Prawa komutacji.
Stanem początkowym obwodu nazywamy stan obwodu w chwili, w
której rozpoczynamy badanie zjawisk w tym obwodzie. W większości
przypadków przyjmuje się jako stan początkowy stan w chwili t = 0. Stan
początkowy jest przeważnie stanem ustalonym, poprzedzającym czynności
łączeniowe prowadzące do powstania stanu nieustalonego. Może to być
stan, w którym wszystkie napięcia i prądy w obwodzie są równe zeru.
Mówimy wtedy, że stan początkowy jest zerowy, albo, że warunki
początkowe są zerowe. Jeżeli w chwili t = 0 na jakimkolwiek elemencie
obwodu występuje napięcie lub płynie prąd, to warunki początkowe są
niezerowe.
Rys. 9.1. Powstawanie stanu nieustalonego: a) obwód tuż przed komutacją;
b) obwód tuż po komutacji.
Zmiany stanu zachodzące w obwodzie w pewnej określonej chwili
nazywamy komutacją. Komutacja może być wywołana zarówno
zamykaniem wyłącznika, jak i jego otwieraniem.
Rys.9.2. Oznaczanie czynności: a) zamykanie wyłącznika w;
b) otwieranie wyłącznika w.
Z zamykaniem i otwieraniem wyłącznika w obwodzie z
indukcyjnością i w obwodzie z pojemnością związane są dwa prawa
fizyczne zwane prawami komutacji.
Pierwsze prawo komutacji:
Prąd w obwodzie z indukcyjnością nie może zmienić się
 skokiem i w chwili tuż przed komutacją ma taką samą wartość jak
w chwili tuż po komutacji.
Pierwsze prawo komutacji nazywane jest też zasadą ciągłości prądu i
strumienia magnetycznego w cewce. Ponieważ strumień magnetyczny
skojarzony z cewką wynosi �=L�i, zatem zasada niezmienności prądu w
chwili komutacji jest równoważna zasadzie niezmienności strumienia
magnetycznego skojarzonego z cewką.
Drugie prawo komutacji:
Napięcie na kondensatorze nie może się zmienić  skokiem i w
chwili tuż przed komutacją ma taką samą wartość jak w chwili tuż po
komutacji.
Drugie prawo komutacji nazywane jest też zasadą ciągłości ładunku
na pojemności. Ponieważ ładunek zgromadzony na okładzinach
kondensatora wynosi q=C�u, zatem zasada niezmienności napięcia na
kondensatorze w chwili komutacji jest równoważna zasadzie
niezmienności ładunku związanego z kondensatorem.
Temat 10 : Stan nieustalony w układzie szeregowym R,L
Załóżmy, że do gałęzi, w której są połączone szeregowo elementy R,
L doprowadzono w chwili t = 0 napięcie stałe. Odpowiada to zamknięciu
wyłącznika W w chwili t = 0 w obwodzie jak na rys. 10.1. Stan
początkowy obwodu jest zerowy, tzn. w chwili t = 0 z elementem
indukcyjnym L nie jest związana żadna energia.
Rys. 10.1. Dwójnik szeregowy R,L włączony na napięcie stałe.
Po zamknięciu wyłącznika W w obwodzie powstaje stan nieustalony.
Wyznaczony przebieg prądu i w funkcji czasu zmienia się od zera do
wartości ustalonej
U
iu =
R
gdyż w obwodzie prądu stałego w stanie ustalonym napięcie na elemencie
indukcyjnym jest równe zeru.
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa w obwodzie z powyższego rysunku
bilans napięć ma postać:
di
U = Ri + L
dt
Po przekształceniach (rachunek całkowy), ostatecznie otrzymujemy, że dla
dowolnej chwili t > 0 otrzymujemy:
R
- t
U U
L
i = - e (1)
R R
lub
R
�ł - t �ł
U
L
�ł
i =
(2)
�ł1- e �ł
�ł
R
�ł łł
Pierwsza składowa prawej strony równania (1) jest nazywana składową
ustaloną prądu, a druga jest nazywana składową przejściową prądu.
U
Składowa przejściowa prądu ma w chwili t = 0 wartość - i w miarę
R
upływu czasu asymptotycznie dąży do zera.
Na rysunku 10.2a przedstawiony został przebieg funkcji czasu składowej
ustalonej iu, składowej przejściowej ip oraz prądu wypadkowego
i = iu+ip
Prąd wypadkowy dąży asymptotycznie do prądu ustalonego i ma charakter
krzywej wykładniczej.
Rys.10.2 Przebiegi czasowe prądu i napięć w dwójniku szeregowym R,L włączonym
na napięcie stałe: a) przebieg prądu; b) przebiegi napięć uR i uL
Jeżeli mamy wyznaczony prąd w stanie nieustalonym, to możemy również
wyznaczyć napięcie na rezystancji uR i napięcie na indukcyjności uL.
Napięcie na rezystancji:
R R
�łU U - t łł - t
L L
uR = Ri = R�ł - e = U -Ue
śł
R R
�ł �ł
Napięcie na indukcyjności:
R
- t
di
L
uL = L = Ue
dt
Temat 11 : Stan nieustalony w układzie szeregowym R,C
Załóżmy, że do gałęzi, w której są połączone szeregowo elementy R,
C doprowadzono w chwili t = 0 napięcie stałe. Odpowiada to zamknięciu
wyłącznika W w chwili t = 0 w obwodzie jak na rys. 11.1. Stan
początkowy obwodu jest zerowy, tzn. w chwili t = 0 napięcie na
pojemności uC = 0, a zatem z elementem pojemnościowym C nie jest
związana żadna energia.
Rys.11.1 Dwójnik szeregowy R,C włączony na napięcie stałe.
Po zamknięciu wyłącznika W w obwodzie powstaje stan nieustalony.
Wyznaczony przebieg napięcia uC w funkcji czasu będzie zmieniał się od
zera do wartości ustalonej wynoszącej
uCu = U
Oznacza to, że z biegiem czasu napięcie na kondensatorze osiągnie wartość
napięcia z
ródła. Proces zachodzący w rozpatrywanym obwodzie
nazywamy procesem ładowania kondensatora przez rezystor ze z
ródła
napięcia stałego.
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa w obwodzie z powyższego rysunku
bilans napięć ma postać:
U = Ri + uC (1)
Prąd ładowania kondensatora:
dq duC
i = = C
dt dt
gdyż dq = CduC (q = CuC). A
adunek elementarny jest proporcjonalny do
napięcia elementarnego.
Podstawiając powyższe do wzoru (1) otrzymamy:
duC
U = RC + uC
dt
Po przekształceniach (rachunek całkowy), ostatecznie otrzymujemy, że dla
dowolnej chwili t > 0 otrzymujemy:
1
- t
RC
uC = U -Ue
albo
1
�ł - t �ł
�ł1- RC �ł
uC = U e
�ł �ł
�ł łł
Przez analogię do obwodu z indukcyjnością wprowadzamy pojęcie stałej
czasowej obwodu z pojemnością, przy czym dla obwodu z pojemnością
stała czasowa
� = RC
Po wprowadzeniu stałej czasowej powyższe równania możemy zapisać w
postaci:
1
- t
�
(2)
uC = U -Ue
albo
1
�ł - t �ł
�
�ł
uC = U e
�ł1- �ł
�ł
�ł łł
Pierwsza składowa prawej strony równania (2) jest składową ustaloną
napięcia na kondensatorze, a druga  składową przejściową napięcia.
Składowa przejściowa ma w chwili t = 0 wartość  U i w miarę upływu
czasu asymptotycznie dąży do zera.
Na rysunku 11.2a przedstawiony został przebieg funkcji czasu składowej
ustalonej uCu, składowej przejściowej uCp oraz napięcia wypadkowego na
kondensatorze.
uC = uCu+uCp
Napięcie ładowania kondensatora asymptotycznie dąży do wartości
napięcia ustalonego U i ma charakter krzywej wykładniczej.
a) b) c)
Rys. 11.2. Przebiegi czasowe napięć i prądu ładowania kondensatora przez rezystancję ze
z
ródła napięcia stałego: a) przebieg napięcia na pojemności; b) przebieg prądu ładowania;
c) przebieg napięcia na rezystancji.
W celu wyznaczenia przebiegu prądu ładowania kondensatora korzystamy
ze wzoru:
1
-
duC U
�
i = C = e
dt R
Prąd ładowania kondensatora ma największą wartość w chwili t = 0,
U
wynoszącej . Rezystor o rezystancji R ogranicza więc prąd w pierwszej
R
chwili.
Im większa jest rezystancja R w obwodzie ładowania i im większa jest
pojemność C ładowanego kondensatora, tym wolniej przebiega proces
ładowania.
Temat 12 : Stała czasowa. Wpływ stałej czasowej na kształt napięć
i prądów.
Z równania
R
- t
U U
L
i = - e (1)
R R
wynika, że w zależności od wartości rezystancji R i indukcyjności L
zanikanie składowej przejściowej w funkcji czasu może być szybsze lub
wolniejsze. W celu zbadania tego zagadnienia wprowadza się wielkość
fizyczną zwaną stałą czasową, określoną wzorem:
L
� =
R
Stała czasowa jest mierzona w sekundach. Po uwzględnieniu powyższego
wzoru i wstawieniu do równania (1) otrzymujemy:
t
-
U U
�
i = - e
R R
oraz
t
�ł - �ł
U
�
�ł
i =
�ł1- e �ł
�ł
R
�ł łł
Jak widać, stała czasowa � jest to czas, po upływie którego wartość
bezwzględna składowej przejściowej maleje e razy.
U
W chwili t = 0 składowa przejściowa prądu ma wartość . W celu
ip = -
R
wyznaczenia wartości składowej przejściowej prądu po upływie czasu
równego jednej stałej czasowej podstawimy t= �, a więc otrzymamy
U U
ip = - e-1 = -
R Re
W ten sposób otrzymaliśmy potwierdzenie powyższej definicji. W ten sam
sposób można wyznaczyć wartość składowej przejściowej prądu po
upływie czasu t = 2�, t=3� itd.
Czas t
0 � 2� 3� 4� 5� 6� 7�
ip
100%
100 36,78 13,53 4,98 1,83 0,674 0,248 0,091
iu
Z przytoczonych danych wynika, że po czasie 5� składowa przejściowa
prądu stanowi mniej niż 1% składowej ustalonej. W praktyce przyjmuje
się, że po 4�....5� obwód znajduje się w stanie ustalonym.
Stałą czasową można zdefiniować również w inny sposób. Można
udowodnić, że jeśli poprowadzimy styczną do krzywej prądu w chwili
t = 0, to przetnie ona asymptotę prądu po czasie �.
Rys.12.1. Wyznaczanie graficzne stałej czasowej.
Z rys.12.1. widać, że twierdzenie jest słuszne dla stycznej do krzywej w
dowolnym punkcie.
Stała czasowa � jest to czas, po upływie którego prąd nieustalony
osiągnąłby wartość ustaloną, gdyby jego narastanie miało charakter
liniowy, czyli prędkość zwiększania się prądu była stała i równa
prędkości zwiększania się w chwili początkowej.
Od wartości stałej czasowej, a więc od wartości parametrów obwodu
zależy czas trwania stanu nieustalonego. Im bowiem większa jest stała
czasowa, tym łagodniej narasta prąd. Na rys.12.2. przedstawione są trzy
krzywe prądu dla różnych wartości �, a więc dla różnych stosunków L do
R.
Rys.12.2. Wpływ wartości stałej czasowej na przebieg prądu w stanie ustalonym.
Jeżeli założymy, że rezystancja obwodu jest stała, a indukcyjność może się
zmieniać, to w miarę zwiększania L wzrasta stała czasowa i narastanie
prądu jest wolniejsze. Stąd wniosek: obwody o dużej indukcyjności wolno
osiągają wartości ustalone.