ROZDZIAA
III: Stany nieustalone
Temat 8 : Stan ustalony i nieustalony w obwodach
elektrycznych.
Dotychczas rozpatrywane obwody elektryczne prądu stałego i zmiennego
rozpatrywane były w tzw. stanie ustalonym. Charakterystyczne dla tego stanu jest to,
że przy określonych wartościach napięć i prądów z
ródłowych odpowiedz
obwodu
(prądy i napięcia na elementach) ma  taki sam charakter jak wymuszenie. Jeżeli
przykładowo działały w obwodzie wymuszenia stałe, to przyjmowaliśmy, że prądy i
napięcia we wszystkich gałęziach i napięcia na elementach są również stałe i nie
zmieniajÄ… siÄ™ w czasie.
Należy sobie zdawać sprawę, że obwód elektryczny zawierający cewki i
kondensatory, tzn. elementy zdolne do gromadzenia energii elektrycznej, po
dołączeniu do z
ródła energii nie może natychmiast znalez
ć się w stanie ustalonym.
Elementy te przed dołączeniem do z
ródła mogły znajdować się w stanie
bezenergetycznym lub z elementami tymi mogła być związana pewna energia.
Z przytoczonych rozważań wynika, że zarówno w obwodzie, który zostaje
dołączony do z
ródła energii, jak i w obwodzie, w którym następuje zmiana
struktury, powstaje stan nieustalony.
Pojęcie stanu ustalonego i stanu nieustalonego odnoszą się nie tylko do
obwodów, w których działają napięcia i prądy z
ródłowe stałe w czasie. Bezpośrednio
po dołączeniu z
ródeł stałych lub zmiennych w czasie lub po dokonaniu zmiany
struktury obwodu, w obwodzie powstaje stan nieustalony i w miarę upływu czasu
następuje ustalanie się przebiegów napięć i prądów.
Ponieważ w stanach nieustalonych mogą pojawić się przepięcia jak i
przetężenia, znajomość zmienności prądów i napięć w funkcji czasu ma istotne
znaczenie. Z reguły napięcia i prądy w stanie nieustalonym charakteryzują się inną
zmiennością w czasie niż w stanie ustalonym.
Temat 9 : Warunki poczÄ…tkowe. Prawa komutacji.
Stanem poczÄ…tkowym obwodu nazywamy stan obwodu w chwili, w
której rozpoczynamy badanie zjawisk w tym obwodzie. W większości
przypadków przyjmuje się jako stan początkowy stan w chwili t = 0. Stan
początkowy jest przeważnie stanem ustalonym, poprzedzającym czynności
łączeniowe prowadzące do powstania stanu nieustalonego. Może to być
stan, w którym wszystkie napięcia i prądy w obwodzie są równe zeru.
Mówimy wtedy, że stan początkowy jest zerowy, albo, że warunki
początkowe są zerowe. Jeżeli w chwili t = 0 na jakimkolwiek elemencie
obwodu występuje napięcie lub płynie prąd, to warunki początkowe są
niezerowe.
Rys. 9.1. Powstawanie stanu nieustalonego: a) obwód tuż przed komutacją;
b) obwód tuż po komutacji.
Zmiany stanu zachodzące w obwodzie w pewnej określonej chwili
nazywamy komutacją. Komutacja może być wywołana zarówno
zamykaniem wyłącznika, jak i jego otwieraniem.
Rys.9.2. Oznaczanie czynności: a) zamykanie wyłącznika w;
b) otwieranie wyłącznika w.
Z zamykaniem i otwieraniem wyłącznika w obwodzie z
indukcyjnością i w obwodzie z pojemnością związane są dwa prawa
fizyczne zwane prawami komutacji.
Pierwsze prawo komutacji:
Prąd w obwodzie z indukcyjnością nie może zmienić się
 skokiem i w chwili tuż przed komutacją ma taką samą wartość jak
w chwili tuż po komutacji.
Pierwsze prawo komutacji nazywane jest też zasadą ciągłości prądu i
strumienia magnetycznego w cewce. Ponieważ strumień magnetyczny
skojarzony z cewkÄ… wynosi ¨=L·i, zatem zasada niezmiennoÅ›ci prÄ…du w
chwili komutacji jest równoważna zasadzie niezmienności strumienia
magnetycznego skojarzonego z cewkÄ….
Drugie prawo komutacji:
Napięcie na kondensatorze nie może się zmienić  skokiem i w
chwili tuż przed komutacją ma taką samą wartość jak w chwili tuż po
komutacji.
Drugie prawo komutacji nazywane jest też zasadą ciągłości ładunku
na pojemności. Ponieważ ładunek zgromadzony na okładzinach
kondensatora wynosi q=C·u, zatem zasada niezmiennoÅ›ci napiÄ™cia na
kondensatorze w chwili komutacji jest równoważna zasadzie
niezmienności ładunku związanego z kondensatorem.
Temat 10 : Stan nieustalony w układzie szeregowym R,L
Załóżmy, że do gałęzi, w której są połączone szeregowo elementy R,
L doprowadzono w chwili t = 0 napięcie stałe. Odpowiada to zamknięciu
wyłącznika W w chwili t = 0 w obwodzie jak na rys. 10.1. Stan
poczÄ…tkowy obwodu jest zerowy, tzn. w chwili t = 0 z elementem
indukcyjnym L nie jest związana żadna energia.
Rys. 10.1. Dwójnik szeregowy R,L włączony na napięcie stałe.
Po zamknięciu wyłącznika W w obwodzie powstaje stan nieustalony.
Wyznaczony przebieg prÄ…du i w funkcji czasu zmienia siÄ™ od zera do
wartości ustalonej
U
iu =
R
gdyż w obwodzie prądu stałego w stanie ustalonym napięcie na elemencie
indukcyjnym jest równe zeru.
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa w obwodzie z powyższego rysunku
bilans napięć ma postać:
di
U = Ri + L
dt
Po przekształceniach (rachunek całkowy), ostatecznie otrzymujemy, że dla
dowolnej chwili t > 0 otrzymujemy:
R
- t
U U
L
i = - e (1)
R R
lub
R
ëÅ‚ - t öÅ‚
U
L
ìÅ‚
i =
(2)
ìÅ‚1- e ÷Å‚
÷Å‚
R
íÅ‚ Å‚Å‚
Pierwsza składowa prawej strony równania (1) jest nazywana składową
ustaloną prądu, a druga jest nazywana składową przejściową prądu.
U
Składowa przejściowa prądu ma w chwili t = 0 wartość - i w miarę
R
upływu czasu asymptotycznie dąży do zera.
Na rysunku 10.2a przedstawiony został przebieg funkcji czasu składowej
ustalonej iu, składowej przejściowej ip oraz prądu wypadkowego
i = iu+ip
Prąd wypadkowy dąży asymptotycznie do prądu ustalonego i ma charakter
krzywej wykładniczej.
Rys.10.2 Przebiegi czasowe prądu i napięć w dwójniku szeregowym R,L włączonym
na napięcie stałe: a) przebieg prądu; b) przebiegi napięć uR i uL
Jeżeli mamy wyznaczony prąd w stanie nieustalonym, to możemy również
wyznaczyć napięcie na rezystancji uR i napięcie na indukcyjności uL.
Napięcie na rezystancji:
R R
îÅ‚U U - t Å‚Å‚ - t
L L
uR = Ri = RïÅ‚ - e = U -Ue
śł
R R
ðÅ‚ ûÅ‚
Napięcie na indukcyjności:
R
- t
di
L
uL = L = Ue
dt
Temat 11 : Stan nieustalony w układzie szeregowym R,C
Załóżmy, że do gałęzi, w której są połączone szeregowo elementy R,
C doprowadzono w chwili t = 0 napięcie stałe. Odpowiada to zamknięciu
wyłącznika W w chwili t = 0 w obwodzie jak na rys. 11.1. Stan
początkowy obwodu jest zerowy, tzn. w chwili t = 0 napięcie na
pojemności uC = 0, a zatem z elementem pojemnościowym C nie jest
związana żadna energia.
Rys.11.1 Dwójnik szeregowy R,C włączony na napięcie stałe.
Po zamknięciu wyłącznika W w obwodzie powstaje stan nieustalony.
Wyznaczony przebieg napięcia uC w funkcji czasu będzie zmieniał się od
zera do wartości ustalonej wynoszącej
uCu = U
Oznacza to, że z biegiem czasu napięcie na kondensatorze osiągnie wartość
napięcia z
ródła. Proces zachodzący w rozpatrywanym obwodzie
nazywamy procesem Å‚adowania kondensatora przez rezystor ze z
ródła
napięcia stałego.
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa w obwodzie z powyższego rysunku
bilans napięć ma postać:
U = Ri + uC (1)
PrÄ…d Å‚adowania kondensatora:
dq duC
i = = C
dt dt
gdyż dq = CduC (q = CuC). A
adunek elementarny jest proporcjonalny do
napięcia elementarnego.
Podstawiając powyższe do wzoru (1) otrzymamy:
duC
U = RC + uC
dt
Po przekształceniach (rachunek całkowy), ostatecznie otrzymujemy, że dla
dowolnej chwili t > 0 otrzymujemy:
1
- t
RC
uC = U -Ue
albo
1
ëÅ‚ - t öÅ‚
ìÅ‚1- RC ÷Å‚
uC = U e
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Przez analogię do obwodu z indukcyjnością wprowadzamy pojęcie stałej
czasowej obwodu z pojemnością, przy czym dla obwodu z pojemnością
stała czasowa
Ä = RC
Po wprowadzeniu stałej czasowej powyższe równania możemy zapisać w
postaci:
1
- t
Ä
(2)
uC = U -Ue
albo
1
ëÅ‚ - t öÅ‚
Ä
ìÅ‚
uC = U e
ìÅ‚1- ÷Å‚
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Pierwsza składowa prawej strony równania (2) jest składową ustaloną
napięcia na kondensatorze, a druga  składową przejściową napięcia.
Składowa przejściowa ma w chwili t = 0 wartość  U i w miarę upływu
czasu asymptotycznie dąży do zera.
Na rysunku 11.2a przedstawiony został przebieg funkcji czasu składowej
ustalonej uCu, składowej przejściowej uCp oraz napięcia wypadkowego na
kondensatorze.
uC = uCu+uCp
Napięcie ładowania kondensatora asymptotycznie dąży do wartości
napięcia ustalonego U i ma charakter krzywej wykładniczej.
a) b) c)
Rys. 11.2. Przebiegi czasowe napięć i prądu ładowania kondensatora przez rezystancję ze
z
ródła napięcia stałego: a) przebieg napięcia na pojemności; b) przebieg prądu ładowania;
c) przebieg napięcia na rezystancji.
W celu wyznaczenia przebiegu prÄ…du Å‚adowania kondensatora korzystamy
ze wzoru:
1
-
duC U
Ä
i = C = e
dt R
Prąd ładowania kondensatora ma największą wartość w chwili t = 0,
U
wynoszącej . Rezystor o rezystancji R ogranicza więc prąd w pierwszej
R
chwili.
Im większa jest rezystancja R w obwodzie ładowania i im większa jest
pojemność C ładowanego kondensatora, tym wolniej przebiega proces
Å‚adowania.
Temat 12 : Stała czasowa. Wpływ stałej czasowej na kształt napięć
i prądów.
Z równania
R
- t
U U
L
i = - e (1)
R R
wynika, że w zależności od wartości rezystancji R i indukcyjności L
zanikanie składowej przejściowej w funkcji czasu może być szybsze lub
wolniejsze. W celu zbadania tego zagadnienia wprowadza się wielkość
fizyczną zwaną stałą czasową, określoną wzorem:
L
Ä =
R
Stała czasowa jest mierzona w sekundach. Po uwzględnieniu powyższego
wzoru i wstawieniu do równania (1) otrzymujemy:
t
-
U U
Ä
i = - e
R R
oraz
t
ëÅ‚ - öÅ‚
U
Ä
ìÅ‚
i =
ìÅ‚1- e ÷Å‚
÷Å‚
R
íÅ‚ Å‚Å‚
Jak widać, staÅ‚a czasowa Ä jest to czas, po upÅ‚ywie którego wartość
bezwzględna składowej przejściowej maleje e razy.
U
W chwili t = 0 składowa przejściowa prądu ma wartość . W celu
ip = -
R
wyznaczenia wartości składowej przejściowej prądu po upływie czasu
równego jednej staÅ‚ej czasowej podstawimy t= Ä, a wiÄ™c otrzymamy
U U
ip = - e-1 = -
R Re
W ten sposób otrzymaliśmy potwierdzenie powyższej definicji. W ten sam
sposób można wyznaczyć wartość składowej przejściowej prądu po
upÅ‚ywie czasu t = 2Ä, t=3Ä itd.
Czas t
0 Ä 2Ä 3Ä 4Ä 5Ä 6Ä 7Ä
ip
100%
100 36,78 13,53 4,98 1,83 0,674 0,248 0,091
iu
Z przytoczonych danych wynika, że po czasie 5Ä skÅ‚adowa przejÅ›ciowa
prądu stanowi mniej niż 1% składowej ustalonej. W praktyce przyjmuje
siÄ™, że po 4Ä....5Ä obwód znajduje siÄ™ w stanie ustalonym.
Stałą czasową można zdefiniować również w inny sposób. Można
udowodnić, że jeśli poprowadzimy styczną do krzywej prądu w chwili
t = 0, to przetnie ona asymptotÄ™ prÄ…du po czasie Ä.
Rys.12.1. Wyznaczanie graficzne stałej czasowej.
Z rys.12.1. widać, że twierdzenie jest słuszne dla stycznej do krzywej w
dowolnym punkcie.
StaÅ‚a czasowa Ä jest to czas, po upÅ‚ywie którego prÄ…d nieustalony
osiągnąłby wartość ustaloną, gdyby jego narastanie miało charakter
liniowy, czyli prędkość zwiększania się prądu była stała i równa
prędkości zwiększania się w chwili początkowej.
Od wartości stałej czasowej, a więc od wartości parametrów obwodu
zależy czas trwania stanu nieustalonego. Im bowiem większa jest stała
czasowa, tym Å‚agodniej narasta prÄ…d. Na rys.12.2. przedstawione sÄ… trzy
krzywe prÄ…du dla różnych wartoÅ›ci Ä, a wiÄ™c dla różnych stosunków L do
R.
Rys.12.2. Wpływ wartości stałej czasowej na przebieg prądu w stanie ustalonym.
Jeżeli założymy, że rezystancja obwodu jest stała, a indukcyjność może się
zmieniać, to w miarę zwiększania L wzrasta stała czasowa i narastanie
prądu jest wolniejsze. Stąd wniosek: obwody o dużej indukcyjności wolno
osiągają wartości ustalone.