3813100778

Przedstawione wyprowadzenie równania falowego pozwala wyznaczyć bezpośrednim rachunkiem wartość prędkości c fazowej fali. Nie jest to możliwe w podejściu zaprezentowanym w trakcie prostego wyprowadzenia równania falowego. Jak widzimy prędkość fali c zależy jedynie od właściwości ośrodka sprężystego.

Zadanie 18. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że równanie fali kosinusoidalnej y(x, t) = Acos[ut — kx], gdzie uj/c = k = 2n/X jest rozwiązaniem (32).

Na przykładzie fali (13) z 0 = 0 można prześledzić wszystkie podstawowe właściwości ruchu falowego.

1.    Prędkość fazowa jest równa c = ui/k, co pozostawiam do samodzielnego obliczenia.

2.    Prędkość cząstek ośrodka w punkcie x i chwili czasu t wynosi

v(x,t) = dy/dt — — Ajsin(urf — kx).

3. Jak pokażemy, dalej względne odkształcenie e(x) elementu ośrodka o długości Ax w punkcie x zależy od x i od t i wynosi (dla Ax —* 0)

e(x, £) = — = Aksin(ujt — kx). ox

Zadanie 19. Pokazać, że e{x, t) jest wielkością bezwymiarową. Zatem

dy ui dy dy dt k dx    ° dx

co oznacza, że prędkość cząsteczek ośrodka v jest proporcjonalna do wartości e(x,t).

4. Cząstki ośrodka nie przemieszczają się wraz z falą. Drgają one wokół swoich położeń równowagi. Łatwo się o tym przekonać licząc wartość średnią (v{x)) prędkości v(x, t) po

1 r^T

czasie t = T, gdzie T jest okresem fali. Wtedy (u(z:)) = — / —Atusin(ujt — kx)dt = 0,

1 Jo

ponieważ obliczamy w ten sposób całkę z funkcji okresowej po przedziale równym jej okresowi.

—Auj sin(o;t — kx)dt —

Zadanie 20. Pokazać bezpośrednim rachunkiem, że

0.

Zadanie 21. Narysować na jednym rysunku, dla ustalonego t — const, następujące zależności:

dy(x £)

(1) y(x, £); (2) v(x,t); (3) e(x,t); (4) Wartości poprzecznej siły —N—    pochodzącej od fali

ox

(33)

i działającej na cząstki ośrodka położone w pobliżu punktu x, jeśli y(x, t) = A cos[o;£ — kx]. Jeśli zamiast struny ośrodkiem, w którym rozchodzi się jednowymiarowa fala poprzeczna byłby pręt o polu przekroju poprzecznego S i trójwymiarowej gęstości masy p (o wymiarze kg/m³), to analogiczne do przedstawionego wyżej rozumowanie prowadzi do rówania falowego B²y 1 9²y    (l\²d²y

^9x2    (Łj^s<2 W

gdzie c = \j-g~ jest prędkością fazową jednowymiarowej fali poprzecznej rozchodzącej się wzdłuż

pręta. Jak widzimy uwzględnienie skończonej grubości pręta prowadzi do prostej zamiany pi —* p ■ S (porównaj (32) i (33)) co jest konsekwencją tego, że w przypadku pręta Am = p ■ S ■ Ax. Rozwiązaniem równania falowego (32) jest każda funkcja²⁷ / postaci f(~\x, t) = f(x — c • t), lub

/⁽⁺⁾ (x,t) = f{x + c-t).

²⁷Dostatecznie regularna, tj. posiadająca pochodne cząstkowe drugiego rzędu względem zmiennej czasowej i przestrzennej

15