3813100777

4.2. Liniowe równanie falowe

Wyprowadzimy obecnie równanie jednowymiarowej fali poprzecznej (dla takiej fali k_x ^ 0, k_y = k_z = 0) poruszającej się wzdłuż struny.

Niechaj struna poddana będzie działaniu stałej siły naciągu AT = const. Liniowa gęstość pi — — = const (o wymiarze kg/m) masy struny, gdzie m i l są masą i długością struny. Jeden (lewy) koniec struny umieszczono w początku układu odniesienia, którego oś OY jest równoległa do kierunku wychyleń z położenia równowagi punktów struny.

Rozpatrzmy równanie ruchu masy Am struny położonej pomiędzy punktami struny o współ-

1 + j Aa: ~ Az²⁵ i masie Am = pi • Aa:²⁶. Niechaj

rzędnych x i x + Ax, długości As = y(x, t) będzie wychyleniem tak wybranego fragmentu masy struny z położenia równowagi wy

wołanego rozchodzeniem się fali. Sformułujemy obecnie równanie ruchu masy Am. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że

Am • a_y — Pi^z-gp = Fy,    (31)

gdzie a_y jest y-kową składową przyspieszenia masy Am, a F_y jest składową wypadkowej siły w kierunku OY. Wartość siły F_y wynosi (patrz rysunek)

F_y = F(x + Ax) — F(x) = Af sin[@(x + Ax, t)] — Tsin[0(a:, t)] ~

~ A/^tan[@(a; + Ax, t)] — A/’tan[0(a;, t)]

9y\    _ /8y~\

dx)_x

Ostatnia równość została otrzymana x + Ax, co prowadzi do

(10    - (jr

\OX/x+Ax    \OX

'yniki rozwinięcia pochodnej

S) AxH

\dx²

0( Ax)².

'9y\

>, 9x ) i+Ai

punkcie

Dodajmy, że nasze rozważania przeprowadziliśmy przy założeniu o małości odkształceń Ay poprzecznych struny, co pozwala stosować przybliżenia typu

Po podstawieniu przedostatniego związku do (31) otrzymujemy

a ⁹²y - kr ^d*y ^P,Ax' dt^{2 U}'dx^

Temu rezultatowi nadamy obecnie postać poszukiwanego jednowymiarowego równania falowego

»V_    1

dx² 77J\gt²    \c) et¹'    ^{ ’

gdzie c = « ^:— jest prędkością fazową jednowymiarowej fali poprzecznej rozchodzącej się wzdłuż

V Pi

struny.

Af .

Zadanie 17. Pokazać, że wymiarem — jest m²/s².

d²y

d²y

z drugą pochodną przemieszczenia, ti. -—. Współczynnikiem proporcjonalności jest czynnik c². ox^z

Po której ze stron równania falowego on występuje łatwo ustalić za pomocą analizy wymiarowej.

²⁵Zakładamy więc, że Ay -C Ax. ²⁶Zauważmy, że symbol A oznacza laplasjai wielkości lub ich przyrostów.

a A jest literą grecką stosowaną tutaj do oznaczenia małych

14