1tom140

6. elektrotechnika teoretyczna 282

Rozwiązanie ukiadu sześciu napisanych równań pozwala wyznaczyć sześć niewiadomych prądów, przy danych źródłach napięcia i impcdancjach gałęzi.

6.3.3. Metoda prądów Oczkowych

Metoda prądów Oczkowych, zwana krótko metodą oczkową. wynika ściśle z praw KirchhofTa. W wyniku modyfikacji równań (6.46) i (6.47) otrzymuje się układ tylu równań algebraicznych liniowych, ile jest oczek niezależnych w rozpatrywanym obwodzie. W przypadku obwodu z rys. 6.9 liczba otrzymywanych równań wynosi 3. Równania te dla obwodu mającego n oczek niezależnych mają postać

Ru — 2_lł_/x+Z₁₂_/2+...+Z₁„_/n

Rz2 ⁼ Rj2l R2+R22J2.+- +Z_2nJ!n

(6.48)

Rm — Rj>\ I'l +Zj,2 J2+- + Zm> A

Prądy ze wskaźnikiem prim, _fj, I'₂...I_są nazywane prądami Oczkowymi. Prądem Oczkowym jest nazywany prąd umyślony płynący przez wszystkie gałęzie oczka (zgodnie ze zwrotem obiegowym oznaczonym na rys. 6.9c). W gałęzi należącej tylko do jednego oczka prąd oczkowy jest równy prądowi gałęziowemu, a w gałęzi wspólnej dwóch oczek prąd gałęziowy jest równy sumie lub różnicy geometrycznej prądów Oczkowych, zależnie od ich zwrotu. W obwodzie z rys. 6.9

JU = A:    h = A; lo = A

i. = A -IV    A = A - A; h = Ii - A

Impcdancjc o dwóch jednakowych wskaźnikach, a więc impedancja typu Z_u. są nazywane impedancjami własnymi oczka. Impedancja własna k-tego oczka jest równa sumie impedancji zespolonych wszystkich n-gałęzi należących do tego oczka. Impcdancjc własne oczka mają zawsze znak plus. W obwodzie z rys. 6.9

, =Z,+Z₄ + Z₂

Z₂₂ — Z₂ + Z₅ + Z₃

= ^3+Z₆+Zi

Impcdancjc o dwóch różnych wskaźnikach, a więc impedancje typu Z_kl. są nazywane impedancjami wzajemnymi oczek. Impedancja wzajemna oczka fc-tego z oczkiem I-tym jest równa impedancji zespolonej gałęzi wspólnej tych oczek. Znak impedancji wzajemnej zależy od zwrotu prądów Oczkowych opływających tę impedancję. Przy zgodnym zwrocie tych prądów impedancja wzajemna ma znak plus, przy zwrocie przeciwnym — minus. Jeśli oczka nie stykają się ze sobą, to impedancja wzajemna jest równa zeru. W obwodzie z rys. 6.9

Z₁₂ = Z_2I = —Z₂;    Z₂₃ = Z₃₂ = — Z₃;    Z₁₃ = Z₃₁ = Z₃

Napięcie źródłowe typu jest nazywane napięciem źródłowym Oczkowym. Napięcie źródłowe oczkowe /c-tego oczka jest równe sumie napięć źródłowych gałęzi należących do tego oczka. W obwodzie z rys. 6.9

Ru ⁼ Ki~ Kz’’ R22 = R2P Rsi Ri3 ⁼ R6~Ri

Układ równań (6.48) można rozwiązać jedną z metod rozwiązywania układu rów nań liniowych, np. metodą wyznaczników lub metodą macierzową.

Stosując metodę macierzową, układ równań (6.48) można zapisać w postaci macierzowej lub krócej

(6.50)

rii.i		rZn Xi2-Zu-]		p\
E22	=	X 21 Z.22 — Z2„		la
		Zj,i Z„2...Zml		r„

(6.49)

E=zr

gdzie: E — macierz napięć źródłowych Oczkowych; Z — macierz impedancji własnych i wzajemnych; /' — macierz prądów Oczkowych.

Stąd poszukiwana macierz prądów Oczkowych

1 =Z ^lE    (6.51)

6.3.4. Metoda napięć węzłowych

Metoda napięć węzłowych (potencjałów węzłowych), zwana krótko metodą węzłową, podobnie jak metoda oczkowa wynika z modyfikacji równań napięciowych zgodnie z prawami Kirchhofła. O ile jednak równania (6.48) w metodzie Oczkowej były równaniami napięciowymi i były poszukiwane prądy, o tyle w metodzie węzłowej równania są równaniami prądowymi, a są poszukiwane potencjały węzłów. W obwodzie mającym i: węzłów liczba węzłów niezależnych w^:ynosi m = v— 1. W przypadku obwodu mającego m węzłów niezależnych o napięciach względem węzła przyjętego jako węzeł odniesienia oznaczonych U\, Uj,... Ljń można sformułować układ równań

[ii — XulL'i    ... -i-Y_lmLT_m

JJ₂ = y₂₁u\ + y₂₂u₂+ ... + Y_2mxr_m

(6.52)

+ Y_m2xr₂+ ... +Y_mmU[_m

W obwodzie z rys. 6.9 można przyjąć węzeł 4 jako w'czeł odniesienia. Formułujemy dla tego obwodu układ 3 równań, w których niewiadomymi są napięcia Uj_u Uj₂ i U₃, będące różnicą potencjałów odpowiednich węzłów względem przyjętego węzła odniesienia, którego potencjał przyjmujemy równy zeru. Są to zatem potencjały węzłów.

Admitancje o dwóch jednakowych wskaźnikach, a więc admitancjc typu Y_kk nazywa się admitancjami własnymi węzła. Admitancja własno węzła k-tego jest równa sumie admitancji zespolonych gałęzi zbiegających się w' tym węźle. Admitancje własne węzła mają zawsze znak plus. W obwodzie z rys. 6.9

X,i = y₁ + y₂+y₃ X-z=Xi+X*+X₆ X₃s=Xz+X*+Xs

Admitancje o dwóch różnych wskaźnikach, a więc admitancje typu Y,, nazywamy admitancjami wzajemnymi węzłów. Admitancja wzajemna węzła k-tego z węzłem /-tym jest równa sumie admitancji zespolonych wszystkich gałęzi łączących bezpośrednio węzeł Żc-ty z węzłem /-tym. Niezależnie od w yboru zwrotu prądów gałęziowych, admitancje wzajemne mają zawsze znak minus. W obwodzie z rys. 6.9

Xi2⁼ Xzi ⁼ ~2r> Xt3 ⁼ Xzz — ~X*'    Xl3 “ ijl ~ ~X2

Występujące w równaniach (6.52) prądy źródłowe F, są wypadkowymi prądami źródłowymi zasilającymi odpowiedni k-ty węzeł. Prąd Tródłowy E_ik jest równy sumie