1tom147

6. ELEKTROTECHNIKA TEORETYCZNA

296

Dla obwodów R. Li R. C wprowadzono pojęcie stałej czasowej z. Stała czasowa jest to czas po upływie którego wartość bezwzględna składowej przejściowej maleje e razy. Dla obwodu R, L szeregowego z = L R.

Po wprowadzeniu pojęcia stałej czasowej równanie (6.112) przyjmie postać

(6.113)

U__U_

Dla dwójnika szeregowego R, C stała czasowa z = RC.

W tablicy 6.5 zestawiono równania oraz przebiegi czasowe prądów i napięć w dwój-nikach R. L oraz R, C.

6.5.3. Metoda operatorowa analizy stanów nieustalonych

Metoda operatorowa analizy stanów nieustalonych w obwodach liniowych jest oparta na przekształceniu całkowym Laplace’a, zgodnie z którym funkcję argumentu rzeczywistego f(t) przekształca się w funkcję argumentu zespolonego F(s) wg wzoru

F(s) = J/Me-dt    (6.114)

o

Operacje przekształcenia oznacza się

F(s) = S?[f(l)]    (6.115)

Funkcja czasu/(t) jest nazywana oryginałem, a funkcja F(s) transformatą funkcji czasu. W tablicy 6.6 zestawiono pow-szechnie stosowane oryginały i ich transformaty. Mając daną transformatę można wyznaczyć oryginał metodą residuów lub korzystając z tzw. wzorów Heaviside’a.

Dla transformaty F(s) = L(s)/N(s) wyznacza się pierwiastki równania N(s) = 0, zwane biegunami funkcji operatorowej. Jeśli ułamek L(s)/N(s) jest nieskracalny, a stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika, to

n

/(t)= I res[F(s)e«]    (6.116)

Tablica 6.6. Zestawienie oryginałów i transformat I.aplace’a wybranych funkcji

Lp.	m oryginał	FU) transformata	Lp.	m oryginał	F(ś) transformata
1.		1 s	9.	<«-!)!	'l II ^1
2.	£((-(!)	1 —c “ s	10.	te~** (a > 0)	1 (STfl)^2
3.	m	1	11.	sh ar	a s^2-ar
4.	e'“ (a > 0)	1	12.	char	s
		s+a			s^2 — a^2
5.	e“ (a < 0)	1 s—a	13.	A[s(r—a)—£(r — b)]	—(e—-e-**) s
6.	sin car	OJ	14.	•	ca
		S^2+CO^2			(s+a)^2 +ca^2
7.	cos car	s	15.	e “cosrar	s+a
		s^2+a>^2			(s+a)^2~ca^1
8.	t	1 s^2

W przypadku biegunów jednokrotnych res[F(sJe^sc] = lim [(s—s_k)F(i)e^ir]

(6.117)

^S~^SŁ    5—S,

Mając wyznaczone bieguny, można oryginał funkcji operatorowej wyznaczyć ze wzoru podstawowego Heaviside'a

/W=Ż—e¹*¹    (6.118)

^J ANKsJ

W szczególnym przypadku, gdy jeden z biegunów funkcji F(s) jest zerowy, funkcję tę można przedstawić w postaci F(s) — L(s)/sM(s) i wtedy oryginał obliczyć ze wzoru

m =

L( 0) M(0)

+ I

A = 1

s*A7'(sJ

eV

(6.119)

przy czym: m = n— 1 — stopień wielomianu A7(s); 7.(0) — wartość wielomianu 7,(sj dla s = 0; M(0) — wartość wielomianu M(s) dla s = 0.

Rys. 6.19. Schemat dwójnika szeregowego R, L, C

Zastosowano metodę operatorową do analizy stanu nieustalonego w dwójniku szeregowym R, L, C, włączonym na napięcie stałe U (rys. 6.19). Dla obwodu tego jest słuszne równanie (6.103), przy e = U. Można dokonać transformacji tego równania na podstawie twierdzenia o transformacie pochodnej, transformacie całki oraz transformacie wielkości stałej, czyli

(6.120)

1    u_c(0~)

U(s) = RI(s) + sLI(s)—7.i(0 ~)+7(s) 4-

sC    s

przy czym i(0) — wartość prądu w chwili t = 0. Zatem transformata prądu

U(s)+ 7.1(0“)--

Mm

7(s) =

7?+sL+

1

sC

(6.121)

przy czym

(6.122)

Z(s) — R+sL^—— sC

impedancja operatorowa dwójnika szeregowego R,L, C. Uwzględniając zależność (6.122), otrzymuje się:

— przy niezerowym stanie początkowym

^uc(0')

U(s)+7.i(0')-

m =

Z(s)

(6.123)