1tom145

6. ELEKTROTECHNIKA TEORETYCZNA 292

6.5. Stany nieustalone w obwodach liniowych

6.5.1. Pojęcia podstawowe

W obwodzie elektrycznym, w którym nastąpiły procesy łączeniowe prowadzące do zmiany jego struktury, albo do którego dołączono źródło lub je odłączono, albo nastąpiła zmiana któregokolwiek parametru — powstaje stan nieustalony.

W stanie nieustalonym charakter zmienności napięć i prądów nie jest zgodny z charakterem wymuszeń działających w obwodzie. Stan obwodu w chwili, w której rozpoczęto badanie zjawisk w obwodzie jest nazywany stanem początkowym. Stan początkowy jest przeważnie stanem ustalonym poprzedzającym czynności łączeniowe prowadzące do powstania stanu nieustalonego. Może to być stan, w którym wszystkie napięcia i prądy w obwodzie są równe zeru. Oznacza to, że stan początkowy jest zerowy (warunki początkowe są zerowe). W większości przypadków jako stan początkowy przyjmuje się stan w chwili t = 0. Znajomość stanu początkowego jest konieczna do obliczania obwodu w stanie nieustalonym, występującym w czasie r > 0.

Z zamykaniem i otwieraniem wyłącznika w obwodzie z indukcyjnością i w obwodzie z pojemnością są związane dwa prawa fizyczne, zwane prawami komutacji.

Zgodnie z pierwszym prawem komutacji prąd w obwodzie z indukcyjnością nie może zmienić się skokowo, tzn. w chwili tuż przed komutacją ma taką samą wartość jak w chwili tuż po komutacji. Ponieważ strumień magnetyczny skojarzony z cewką 'P = Li, zatem zasada niezmienności prądu w chwili komutacji jest równow ażna zasadzie niezmienności strumienia. Prawo to wyrażają zależności

•P((T) = nOl;    i(O-) = i(0⁺)    (6.101)

Zgodnie z drugim prawem komutacji napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, tzn. w chwili tuż przed komutacją ma taką samą wartość jak w chwili tuż po komutacji. Ponieważ ładunek zgromadzony na okładzinach kondensatora q = Cu_c, zatem zasada niezmienności napięcia na kondensatorze w chwili komutacji jest równoważna zasadzie niezmienności ładunku na okładzinach kondensatora. Prawo to wyrażają zależności.

ą(0-) = ą(01;    u_c(0~) = _Uc(0⁺)    (6.102)

Prawa te wynikają z zasady ciągłości zmian energii.

6.5.2. Metoda klasyczna analizy stanów nieustalonych

Znając parametry R, L, C, M obw^rodu, można napisać równanie bilansu napięć chwilowych zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa. Otrzymuje się równanie różnicz-kowo-całkowe, które dla obwodu szeregowego R, L, C przy wymuszeniu e ma postać

e =    +    H—4r J idt+u^O”)    (6.103)

W przypadku obwodów rozgałęzionych uwzględnia się ponadto pierwsze prawo Kirchhoffa.

W wyniku rozwiązania otrzymanego układu równań różniczkowych względem dowolnej zmiennej x, otrzymuje się równanie różniczkowe liniowe zwyczajne n-tego rzędu, o współczynnikach stałych, niejednorodne, o postaci

d"x

m = a— ₊ a_n.

d"“‘x

dt"-'

dx

+    +^ao^x

(6.104)

przy czym: a₀, a_lt..., a„ — stałe współczynniki, będące kombinacją parametrów R, L, C, M', n — rząd równania zależny od liczby elementów reaktancyjnych w obwodzie.

^5. STANY NIEUSTALONE W OBWODACH LINIOWYCH

293

Rozwiązanie ogólne x równania niejednorodnego jest sumą algebraiczną dwóch składowych: x_u — składowej ustalonej, będącej rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego niejednorodnego; x_? — składowej przejściowej, będącej rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jednorodnego.

Składową ustaloną wyznacza się rozwiązując dany obw'ód w warunkach pracy ustalonej. Następnie oblicza się pierwiastki równania charakterystycznego s,,s₂,...,s„. Składowa przejściowa

X_p = £    (6-105)

1=1

przy czym: A_t, A₂,...,A_n — stałe całkowania, które wyznacza się znając stan początkowy i korzystając z praw komutacji.

^r

Rys. 6.18. Schemat dwójnika szeregowego R, L

W celu zilustrowania metody wyznaczono przebiegi prądu i napięć w dwójniku szeregowym R, L, włączonym na napięcie stałe (rys. 6.18). Stan początkowy obwodu przyjęto za zerowy. Równanie bilansu napięć ma postać

U = Ri + L-

di

di

(6.106)

(6.107)

Składowa ustalona prądu jest równa prądowi płynącemu w obwodzie w stanie ustalonym U

“ R

Składową przejściową oblicza się z równania jednorodnego

(6.108)

(6.109)

(6.110)

Zgodnie z zależnością (6.105) rozwiązanie równania (6.108) ma postać i, = M*

przy czym z równania charakterystycznego Ls+R = 0 pierwiastek R

Zatem prąd

U

i = i„ + i_ł, = —+ /4e l

(6.111)

Zgodnie z założeniem, w chwili £ = 0, i = 0. a zgodnie z prawem komutacji ;(0 ) = i(0⁺); . U    U

stąd 0 =--1- A, a więc A =--. Ostatecznie

R    '    R

(6.112)

U U *

i =---e l

R R