stany nieustalone str01

STANY NIEUSTALONE W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH - metoda operatorowa

Metoda operatorowa jest metodą rozwiązywania obwodów elektrycznych w stanie nieustalonym polegającą na algebraizacji rów nań różniczkowo-calkowych opisujących układ.

Zasady rachunku operatorowego podał w r. 1895 uczony angielski O.Heaviside, a opracowaną przez niego teorie nazyw amy rachunkiem operatorów Heaviside’a.

Teoria ta została w latach następnych rozwinięta i oparta na przekształceniu całkowym Laplace’a. Poniżej opisano metodę operatorową, opartą na stosowaniu przekształcenia całkowego Laplace’a.

Przekształcenie Laplace’a i jego właściwości

Przekształcenie Laplace’a, jego właściwości i twierdzenia z nim związane należą do jednego z działów matematyki i w literaturze matematycznej znajdujemy szerokie omówienie tej tematyki.

W podręcznikach elektrotechniki teoretycznej niekiedy są podawane podstawowe wiadomości z tej dziedziny, jednak w ostatnich latach główny nacisk kładzie się na problematykę zastosowań rachunku operatorowego do analizy różnego rodzaju obwodów zarówno o parametrach skupionych, jak i rozłożonych. Tutaj podane zostaną tylko zasadnicze wiadomości konieczne do zrozumienia dalszych rozważań.

W równaniu różniczkowo-całkowym opisującym zależności między wymuszeniami i odpowiedziami występują napięcia i prądy będące funkcją argumentu rzeczywistego - zazwyczaj czasu t. W rachunku operatorowym funkcję tę nazywamy funkcją oryginalną, oryginałem lub też wprost funkcją czasu i oznaczamy małą literą f(t).

W odniesieniu do rozpatrywanej funkcji czasu, czyli oryginału czynimy następujące założenia:

-    znika dla argumentów ujemnych, czyli f(t) = 0 przy t<0;

-    jest jednoznacznie określona w całym przedziale czasu od 0 do oo, jest w tym przedziale ciągła, z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju;

-    rośnie co do wartości bezwzględnej nie szybciej niż funkcja wykładnicza.

Każdej funkcji zmiennej rzeczywistej f(t) spełniającej wymienione warunki można przyporządkować funkcję argumentu zespolonego s=a+jco, zwanego też parametrem zespolonym. Funkcję tę nazywamy transformatą funkcji czasu, funkcją przekształconą i oznaczamy wielką literą F(s).

Przekształcenie Laplace’a proste jednostronne jest określone zależnością

oo

o

(44)

Od funkcji argumentu zespolonego - transformaty, do funkcji argumentu rzeczywistego -oryginału można przejść stosując przekształcenie Lapłace’a odwrotne

rA- im

(45)

w którym c - liczba rzeczywista dodatnia nie mniejsza od odciętej zbieżności transformaty, c>ct. Przekształcenia Lapłace’a proste i odwrotne oznaczamy odpowiednio

2007-01-10

1

TO/ES