6872720155

STANY NIEUSTALONE W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH- metoda zmiennych stanu

14.9. METODA ZMIENNYCH STANU

14.9.1. Lstota metody

Pojęcie stanu jako pojęcie podstawowe przy opisie układów elektrycznych wprowadził w r. 1936 A. M. Turing. a zastosował w swej pracy z teorii informacji O. E. Shannon.

Pojęcie to ma zasadnicze znaczenie we współczesnej teorii sterowania i dlatego też definicje i określenia podstawowe znajdujemy przede wszystkim w literaturze z dziedziny teorii sterowania.

Stanem układu nazywa się najmniej liczny zbiór wielkości który nalety określić h* chwili t t^ aby motna było przewidzieć jednoznacznie zachowanie się układu w każdej chwili />'-/*» dla każdego syk nul u wymuszającego należącego do danego zbioru wiwatów wymuszających_t przy założeniu, te wszystkie elementy zbioru wymuszeń są znane dla t>=t* Wielkości te są nazywane zmiennymi tub współrzędnymi stanu. Wektor będący zbiorem n zmiennych stanu nazywamy wektorem stanu.

Układ równań różniczkowych pierwszego rzędu. rozwiązanych wza/edem pierwszych pochodnych_t nazywamy równaniem stanu.

Metoda analizy obwodu oparta na sformułowaniu, a następnie rozwiązaniu układu równań różniczkowych pierwszego rzędu (równań stanu) nazywamy metoda zmiennych stanu.

W teorii obwodów elektrycznych jako zmienne stanu najczęściej przyjmuje się prądy i_ł9 w cewkach i napięcia u<_h t/_rj... na kondensatorach.

Wybór zmiennych stanu nie jest jednak jednoznaczny.

Liczba zmiennych stanu obwodu elektrycznego jest równa na ogól liczbie elementów rcaktancyjnych obwodu, tzn. liczbie cewek i kondensatorów w obwodzie.

Dla obwodu zawierającego n zmiennych stanu można sformułować n równań różniczkowych pierwszego rzędu lub jedno równanie różniczkowe n-tego rzędu o postaci (14.4).

Istotą metody klasycznej omówionej w p. 14.4 było rozwiązanie jednego równania różniczkowego n-tego rzędu określonego dla jednej zmiennej.

Istotą metody zmiennych stanu jest rozwiązanie sformułowanego układu n-równań różniczkowych pierwszego rzędu.

Jeśli zmienne stanu obwodu elektrycznego oznaczymy x_h(t)₉ xrft)_f ... , Xjl)₉ to wektor stanu będący wektorem przestrzeni wy miaro w ej oznaczymy w postaci

*i(r>

x(r)

*j(0

(14.191)

Zbiór wszystkich możliwych wartości wektora stanu \(r) tworzy przestrzeń stanów Wprowadzamy następnie pojecie wektora wymuszeń, który określamy jako

«i(0

u(0

(14.192)

przy czym «,(/), u₂(l),...,u_p(l) - napięcia i prądy źródłowe.

1