str01 (2)

STANY NIEUSTALONE W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH- metoda zmiennych stanu

14.9. METODA ZMIENNYCH STANU

14.9.1. Istota metody

Pojęcie stanu jako pojęcie podstawowe przy opisie układów elektrycznych wprowadził w r. 1936 A. M. Turing, a zastosował w swej pracy z teorii informacji O. E. Shannon.

Pojęcie to ma zasadnicze znaczenie we współczesnej teorii sterowania i dlatego też definicje i określenia podstawowe znajdujemy przede wszystkim w literaturze z dziedziny teorii sterowania.

Stanem układu nazywa się najmniej liczny zbiór wielkości, który należy określić w chwili t = tn, aby można było przewidzieć jednoznacznie zachowanie się układu w każdej chwili t>=t_n. dla każdego sygnału wymuszającego należącego do danego zbioru sygnałów wymuszających. przy założeniu, że wszystkie elementy zbioru wymuszeń są znane dla t>=t₍> Wielkości te są nazywane zmiennymi lub współrzędnymi stanu. Wektor będący zbiorem n zmiennych stanu nazywamy wektorem stanu.

Układ równań różniczkowych pierwszego rzędu, rozwiązanych względem pierwszych pochodnych, nazywamy równaniem stanu.

Metoda analizy obwodu oparta na sformułowaniu, a następnie rozwiązaniu układu równań różniczkowych pierwszego rzędu (równań stanu) nazywamy metoda zmiennych stanu.

W teorii obwodów elektrycznych jako zmienne stanu najczęściej przyjmuje się prądy i,, i₂,... w cewkach i napięcia u_ci, u_c2... na kondensatorach.

Wybór zmiennych stanu nie jest jednak jednoznaczny.

Liczba zmiennych stanu obwodu elektrycznego jest równa na ogól liczbie elementów reaktancyjnych obwodu, tzn. liczbie cewek i kondensatorów w obwodzie.

Dla obwodu zawierającego n zmiennych stanu można sformułować n równań różniczkowych pierwszego rzędu lub jedno równanie różniczkowe n-tego rzędu o postaci (14.4).

Istotą metody klasycznej omówionej w p. 14.4 było rozwiązanie jednego równania różniczkowego n-tego rzędu określonego dla jednej zmiennej.

Istotą metody zmiennych stanu jest rozwiązanie sformułowanego układu n-równań różniczkowych pierwszego rzędu.

Jeśli zmienne stanu obwodu elektrycznego oznaczymy x_h(t), x₂(t), ... , Xjt), to wektor stanu będący wektorem przestrzeni n-wymiarowej oznaczymy w postaci

*i(0

x(0 =

(14.191)

x«(0

Zbiór wszystkich możliwych wartości wektora stanu x(r) tworzy przestrzeń stanów.

Wprowadzamy następnie pojecie wektora wymuszeń, który określamy jako

H_p{t)

(14.192)

przy czym u,(t), u₂(t),...,u_p(t) - napięcia i prądy źródłowe.

1