5466967414

Niech Ri(9) = E#(0, — 0)², i — 1,2 oznaczają funkcje ryzyka obu estymatorów. Wyznaczyć te funkcje.

235. Załóżmy, że X\, X2,..., Xg jest próbką z nieznanego rozkładu prawdopodobieństwa z medianą m. Wiemy, że rozkład ma ciągłą dystrybuantę i m jest jedyną medianą. Niech < X2-.8 < • • • < ^8:8 będą statystykami porządkowymi (pozycyjnymi). Przyjmijmy, że przedziałem ufności dla m jest [AT4_;s, ^5_:s]- Obliczyć poziom ufności, czyli P(Xi_:8 <m< X^s).

236. Niech Xi,X2,...,X_n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samy rozkładzie o gęstości

12O0⁶

0

dla x > 0,

/*(*) =

w przeciwnym przypadku, gdzie 9 > 0 jest nieznanym parametrem. Wiadomo, że E₀Xi =69 i Varg X_t = 69².

Dobrać stałą c tak, aby statystyka T = %(Xi + X2 + ... + X_n) była estymatorem nieob-ciążonym parametru 9 i obliczyć wariancję T.

237. Zważono 10 paczek białego sera i otrzymano następujące wyniki:

195; 198; 201; 191; 202; 194; 196; 198; 197; 198.

a)    Znaleźć średnią i wariancję otrzymanej próbki.

b)    Załóżmy, że jest to próbka losowa z rozkładu normalnego N(fi, 9) z nieznanym parametrem // i wariancją 9. Podać przedział ufności dla średniej masy paczki fi na poziomie ufności 1 — a = 0.95. W rozwiązaniu można przyjąć, że <3>^-1(0,95) « 1,645 i 4>^_1 (0,975) « 1,96.

238. Niech X\,X2,. ■. ,X_n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie N(//, a²). Wykazać, że statystyki

S²

1

n — 1

£(**-*)²

są niezależne.

Wskazówka: Kombinacje liniowe niezależnych zmiennych normalnych są niezależne, jeśli są nie-skorelowane.

239.    W jeziorze jest nieznana liczba N ryb. W celu oszacowania N złowiono m ryb, oznakowano je i wpuszczono do jeziora. Po pewnym czasie złowiono ponownie n ryb i okazało się, że k z nich jest oznakowanych. Podać oszacowanie N uzyskane metodą największej wiarogodności.

240.    Niech Xi, X2, ■■■, X_n będzie próbą z rozkładu jednostajnego na przedziale (0,0), 0 > 0. Niech

T = ^±i_m

n

S = 2X

będą estymatorami parametru 0. Czy są to estymatory nieobciążone? Który z nich ma mniejsza wariancję?

18