5466967415

5 Przykłady rozwiązanych zadań

Poniżej zamieszczono kilka przykładowych zadań z dość szczegółowymi rozwiązaniami. Zadanie. Wiedząc, że

7r    111111111    ^ (_l)n

4    3 5 7    9 11    13    15    17    19    ^2n + l

znaleźć sumę szeregu

l 1 _ I__L J_ i___1___L J_    y. 2\/2sin (²ⁿ'^¹)^7r

⁺ 5    7    11 ⁺ 13 ⁺ 17    19    23 ⁺ 25 ⁺ 29    31    35 ⁺ ' ” “ ^ 3 + 6n - cos(nTr)    '

Rozwiązanie. Wyrazy drugiego szeregu są również wyrazami pierwszego, ale oprócz wyrazów drugiego szeregu w pierwszym pojawiają się dodatkowo —i, —jg, jj, —    ____Ich sumą jest

1 7r

3 4

Możemy więc napisać ' (-*

4

= fl-

1 1

3 ⁺ 5 1 1 3 ⁺9 1 1

” n ⁺ 13 ’

19 ⁺ 21 "

1 _ _1_ _1___1_ \

9    15 ⁺ 21 ~~ 27 ⁺ ' “ /

11 1 ,

- (---

^v13    15

f - —

'    19 ⁺ 21    23' ^H

_ J_

” 15 ⁺ 21 ¹ 1 \ 7“n^{) +}

'13 ⁺ 17' ⁺    19    23'

Otrzymaliśmy w zasadzie to, co mieliśmy obliczyć. Pozostaje tylko wyjaśnić, dlaczego wolno „otworzyć nawiasy”. Niech Si = 1, S2 = 1 + g, 83 = 1 + 5 —    84 = 1 + 5 — 7 — n> • • • ^oz~

naczają kolejne sumy częściowe szeregu, który powstaje przez „otworzenie nawiasów” z szeregu zbieżnego (l + §) + ( - \ - yj) +    + jj) + ( -    H----. Zbieżność tego szeregu oz

nacza, że ciąg «2> *4? «6> • • ■ ma skończoną granicę (i już wiemy, że jest nią |). Ponieważ jednak

lim (s2n—1 ^— s2n) = 0, więc ta granica jest również granicą ciągu 51,83,55,----Wynika stąd,

że ciąg 51,82,83,84,... jest zbieżny do granicy skończonej, a to oznacza zbieżność szeregu, o którym mowa w tezie zadania. Wykazaliśmy więc, że

J_    ” ₂v^sin^±^

35 ⁺    “3 -1- 6n - cos(n7r) ’

TT    1    1    11111111

3 “ ⁺5^_7^_lT⁺13 ⁺ 17^_19^-23 ⁺ 25 ⁺ 29^- 31

Zadanie. Załóżmy, że a, b> 0. Wykazać, że (2 — \/3)a^2+v^ + (2 + y/3)b² ^ > 4 \/ab. Rozwiązanie. Pochodna funkcji e^x jest ściśle rosnąca, więc funkcja ta jest ściśle wypukła. Ponadto, liczby p = ²~₄^V^ i q =    = 1 są dodatnie i spełniają warunek p + q = 1 = 16pq.

Wobec tego, z nierówności Jensena (tzn. wprost z definicji funkcji wypukłej),

2^₀2+^₊2W3j2-VI    _=    pe4,l»« _{+ 5e}4_Pi»i,

> g4pq ln a+4pq In 6

= _e3^lna+3^ln6 = _e3^In(a6) = \fab.

19