5469091770

Uwaga 2.1 /'(zę) = §£(z₀)

Z wniosku 2.1 wynika, że /'(z₀) = t;(zo,2/o) + *§(zo,2/o)- Natomiast §£ = | (ff -    =

| (u'_x + iv'_x — i(u'_y + żWy)) = | ((u^. + Uy) +    — ity)) . Korzystając z faktu, że jeśli istnieje

/'(z₀) to / spełnia w punkcie z₀ warunki Cauchy’ego-Riemanna otrzymamy, że

u'y(x_a, Mo))]

^j(zo) = J [<4(xo> !»>) + t^(x₀. ») + *(l4(*o. Po) -

= 2 [2«Zo,») H

2.4 Pochodna kierunkowa funkcji

Niech D C C, / : D —> C, zo & D. Wtedy

A/ = /(.z) - /(z₀), Az = Z - Zq, Aź = Z — Źq.

Af = ^-Az + ^₌Aź + o(Az), oz oz

gdzie o(Az) oznacza małą wyższego rzędu względem A tzn. liniA*->o = 0. Zapiszemy Az = |Az|e^iS, wtedy Az = |Az|e^-<e.

?7(Az),

^Ł = ?Ł + °L₍,-2io

Az dz dz

gdzie rj{Az) =    —> dla Az -» 0.

Do istnienia granicy ilorazu ^ dla Az —> 0 potrzeba i wystarcza, aby przy dążeniu Az —¥ 0 kąt 0 — arg(Az) dążył do pewnej granicy (j). Granicą ilorazu ^ gdy arg(Az) dąży do kąta (j) nazywamy pochodną funkcji / w kierunku kąta (j) w punkcie z₀ i oznaczamy symbolem J^-.

dŁ ₌ °Ł,df-_m

dz^ dz dz

Uwaga 2.2

Jeżeli §f (20) ^ to pochodne kierunkowe w tym punkcie zależą od od kierunku.