5555241347

2

wartości Xi ,X2 ,...x _n ; jako przybliżenie wielkości niewiadomej X bierzemy taką wartość X ( średnią arytmetyczną), dla której suma kwadratów

S ( X ) = (X, - X ) ² + (X₂ - X )² +...+ (X „ - X )²    (1)

jest najmniejsza. Można wykazać, że X jest —> średnią arytmetyczną liczb Xi ,X2 ,...,x _n ;

x = ( Xi + X2 +...+ x _n ) / n    (2)

Poszczególne składniki we wzorze (1) są znanymi nam błędami pozornymi v-{ (x_n - x) = v_n } Zilustrujmy zacytowany z [11] opis MNK nieśmiertelnym dla geodetów przykładem, że pewną długość pomierzono taśmą dziesięciokrotnie. Obróbkę tych wyników przedstawia się w tablicy I.

tablica I

Wyniki pomiarów Xj w [m]	Vi=Xn-182.099 w [mm]	W	rj=Xn-182.104 w [mm]	rr
1	2	3	4	5
182.06	-39	1521	-44	1936
182.13	31	961	26	676
182.10	1	1	-4	16
182,15	51	2601	46	2116
182.05	-49	2401	-54	2916
182.08	-19	361	-24	576
182.07	-29	841	-34	1156
182.12	21	441	16	256
182.14	41	1681	36	1296
182.09	-9	81	-14	196
x =1820.99/10 = 182.099	M = o	[w] = 10 890 = minimum	[r] = -50	[rr]= 11 140

W kolumnie 3 i kolumnie 5 mamy właśnie poszczególne kwadraty oraz sumy kwadratów. W pierwszym przypadku suma kwadratów obliczona jest w oparciu o tą jedną jedyną i jednocześnie właściwą z matematycznego punktu widzenia wartość, a mianowicie średnią arytmetyczną. W drugim przypadku do obliczenia sumy kwadratów użyta została inna, dowolna wartość, która im bardziej odbiega od średniej arytmetycznej tym większą daje sumę kwadratów. A więc mamy co chcieliśmy pokazać, kolumna 3 ma najmniejsze kwadraty :

[w] = minimum, czyli [w] < [rr] , a w przypadkach gdy dysponować będziemy obserwacjami niejednorodnymi np. kątami i odległościami, lub o różnych dokładnościach w rachubę będą wchodzić wagi p,wówczas dążyć będziemy do uzyskania warunku [pvv] = minimum. Przedstawiony przykład odnosi się do pomiarów bezpośrednich, ale MNK ma zastosowanie również tam gdzie wielkości mierzone są etapem pośrednim w uzyskaniu końcowego rezultatu np. kąty i boki służą do określenia współrzędnych.

Przy okazji przedstawienia tego prostego przykładu można przypomnieć sobie że :

■ suma błędów pozornych [v] = 0, co oznacza, że obliczona wartość jest rzeczywiście X (średnią arytmetyczną)