265 2

265

7.2. Proste metody konstrukcji wzorów przybliżonych

^ . wartości A₁₀ - rozumirnej jako przybliżenie pochodnej - jest równy około n byłoby jednak niewłaściwe zaokrąglenie A_l0 do trzech cyfr ułamkowych. Proces stfapętecji korzysta również z informacji zawartej w cyfrach obarczonych błędem oł>-

łdea ekstrapolacji Richardsona jest o wiele ogólniejsza, niż podane wyżej twierdzenie i yjggrytm. Nie jest np. konieczne, aby długości kroków tworzyły ciąg geometryczny. Zauważmy źe jeśli w (7.2.10) jest Pj=jp, to sumy częściowe rozwinięć są wielomianami względem h^F. Jeśli znamy k-f 1 wartości F(g₀ h), F(q, h),F(q_k k), to na mocy twierdzenia 4^2 wielomian interpolacyjny k-tego stopnia Q określają jednoznacznie warunki

Q((qth)^p)=F(_qih) (i=0,1.....k).

Można wykazać, że Q(0)—F(0) = 0(ń^{(k+1 )r}), gdy h->0.

Istnieje wiele innych odmian ekstrapolacji. Jest to w^r istocie problem szacowania współczynników w' pewnym teoretycznie uzasadnionym wyrażeniu dla F(h\ gdy znane są numerycznie wartości funkcji F. Program tak ogólnej ekstrapolacji jest bardziej złożony, ale w pełni wykonalny. Uogólnieniem, które okazało się korzystne w rozwiązywaniu numerycznym równań różniczkowych (zob. metodę Bulirseha-Stoera w § 8.3.1), jest dobranie do danych wartości funkcji Ffunkcji wymiernej o zbliżonych stopniach licznika i mianownika.

Co więcej, nie jest wcale konieczne, aby parametrem była długość kroku. Można np. zastosować ten sam pomysł, gdy rozporządza się pewnymi teoretycznymi wiadomościami o zależności asymptotycznej reszty szeregu nieskończonego od liczby składników'. Ekstrapolacja Aitkena (zob. § 3.2.3) wykorzystuje ten sam podstawowy pomysł.

Na koniec warto powiedzieć, źe ideę ekstrapolacji Richardsona stosuje się niekiedy w naukach doświadczalnych — np. wtedy, gdy pewną wielkość należy mierzyć w absolutnej próżni (trudnej do osiągnięcia łub kosztownej). Może być wtedy bardziej praktyczne zmierzenie tej wielkości przy kilku różnych ciśnieniach. Rozwinięcia podobne do (7.2.10) można czasem wydedukować z teorii kinetycznej gazów i zastosować je tak, jak to pokazaliśmy.

Pytanie przeglądowe

Uzasadnić teoretycznie ekstrapolację Richardsona i wyjaśnić jej zastosowanie w różniczkowaniu numerycznym.

Zadania

• ^zór Simpsona pisze się niekiedy w postaci

b f/(*)dx = iA(/₀ + 4U + 2£+/„),

Sdzie tt-. f f

*8odne    + *••+/.-1,    +    a n jest parzyste. Wykazać, źe jest to

.    ² Wzorem podanym w przykładzie 7.2.2.