267 2

267

7.2. Proste metody konstrukcji wzorów przybliżonych

Grecv w starożytności przybliżali długość 2rr okręgu jednostkowego, wpisując okrąg wielokąt regularny i obliczając jego obwód. Archimedes rozważał wpisany ^%V,^okat regularny o 96 bokach i obwodzie 6.2821.

^Wielokąt regularny o n bokach wpisany w okrąg o promieniu I ma obwód

_ . n c_=2rcsin— •

"    2 n

Przyjąć h — 1 /**-

(i) Wykazać, że c(h)=c_llk spehiia założenia ekstrapolacji iterowanej Richardsona.

(b)    Obliczyć c₂ (podwojoną średnicę), c₃ i c₆ i korzystając z tych wartości, zastosować ekstrapolację i terowaną Richardsona. W obliczeniach używać czterech cyfr ułamkowych.

(c)    Przejrzeć poniższy program w Ałgolu obliczający 2jc z dokładnością do dziewięciu cyfr ułamkowych za pomocą ekstrapolacji iterowanej Richardsona zastosowanej do wartości c₆, c_tl, c₂*,... Przyjmuje się, że tę dokładność osiągnięto, gdy różnica dwóch sąsiednich elementów w kolumnie zmniejszyła się poniżej 0.5-10~⁹. Wyprowadzić użyty w programie wzór rekurencyjny dla c,-. (Zauważyć, że funkcje trygonometryczne nie są potrzebne.)

Program:

begin real jr, R; array C [0: IG]; ijnteger i, k, n, p; k:~0: «:=3; C10]:=6; print (2 x n, C [0]);

ANCORa: k:=k+1; n: — 2xn; p:-1;

x:=sqrj (8 x «|2-4 x» x sqn (4 x n;2-C [0]j2)); print (2xn, x);

for f:=0 step 1 uotił k— 1 do begin

R'—x— C(iJ; p:=4xp;

C{i]:=jr, *:=* + .R/(/>-l); print (Jr);

*f ttbs (R/(p — l»<0.5_lo—9 then go fo FI NITO end;

lf *<10

^tbon go to ANCORA: **WTOi eod

^inslrukc^ drukowania; parametry' określające układ graficzny wyników po-