257 2

257

7.2. Prosie metody konstrukcji- wzorów przybliżonych

7.2. Proste metody konstrukcji wzorów przybliżonych

i oszacowań błędu

7.2.1. Sformułowanie zadań i typowe przykłady

W pozostałej części tego rozdziału dla funkcji /określonej na siatce (*₀, x_łf..., (której punkty nie muszą być równoodległe, ani nawet uporządkowane) używa się następujących oznaczeń:

n'} I)    f(,^xt)⁼fly f (^xi)—f{ > J (^xt)⁼/< f ••• r oznacza błąd obcięcia, R_x - błąd zaokrąglenia danych wejściowych, a Rc - błędy zaokrągleń popełnianych w obliczeniach. Re i R_x łączy się niekiedy w jeden składnik R_A.

Będziemy rozpatrywać kilka zadań, w których znane są pewne informacje o funkcji -np. jej wartości i ewentualnie wartości jej pochodnych na siatce punktów. Zadania polegają na obliczeniu innych informacji o tej funkcji, np.

(a)    wartości funkcji w pewnym punkcie nie należącym do siatki (jcsl to interpolacjo,

jeśli x € int (x₀,    i ekstrapolacja w przeciwnym razie),

(b)    wartości pewnej pochodnej funkcji w jakimś punkcie (różniczkowanie numeryczne),

(c)    wartości całki z funkcji w pewnym przedziale (całkowanie numeryczne, określane czasem jako kwadratura numeryczna).

Dla funkcji, które z sensowną dokładnością przybliża się lokalnie wielomianem, jest naturalne używanie wzorów dokładnych, gdy funkcja jest (przedziałami) wielomianem pewnego ustalonego stopnia. Takie wzory mają często prostą postać.

Istnieje wiele użytecznych sposobów konstrukcji takich wzorów:

(a)    metoda współczynników nieoznaczonych — przykład 7.2.1,

(b)    zastąpienie funkcji (przedziałami) wielomianem przybliżającym, który wyraża się przez dane wielkości i obliczenie szukanvch wartości dla tego wielomianu — przykłady 7 2.3 i 7.2.4.

(c)    ekstrapolacja i terowana Richcrdsona — § 7.2.2,

(ó) szeregi operatorowe (lub funkcje tworzące) — § 7.6.2,

(s) umiejętne wykorzystanie znanych własności wielomianów' — przykład 7.2.2.

Szacując błąd dyskretyzacji (czyli błąd obcięcia) można stawiać wymagania dwóch ty-

oszacowanie błędu było ścisłe,

żeby oszacowanie było przybliżone, zwykłe poprawne asymptotycznie. wHi, je - ^ffli«^dzy rzeczywistym błędem i jego oszacowaniem staje się zazwyczaj ściślejszy.

Ści ^{80ŚĆ kroku 2<łąża d0} °-

^OS2^cowania błędu można niekiedy wyprowadzić posługując się doraźnie twier-inaty ^J- ° ^warlo^^c^ średniej z rachunku różniczkowego i całkowego. (Postępując syste-l_u^ ₀^^2D|^» ^moźna zacząć od twierdzeń 4.5.2 i 4.5.1 lub wzoru Taylora z resztą całkową ^v,a‘kaiń^{,ZCrU ime}H>olacyjncga z resztą — twierdzenie 4.3.3. W niniejszej książce jednak nie y głębiej w ten aspekt zagadnienia.)

^Wncryeine