263 2

263

7.2. Proste metody konstrukcji wzorów przybliżonych

I _TwlERDZENrF 7.2.1. Załóżmy, że

(72.10)    F(h)=a₀+a₁h^pi+a₁h^Pi +...,

<,»*<?*<- ^ł ptzyjmijmyt że

(7J.11)    F.{*)-F(fc), ił rtr/)' F„(fr) wz rozwinięcie postaci

F_n(h)=a₀+a\,*'^,h’ⁿ+ai"l_lh^p'"'+...

Dowód indukcyjny. Wobec (7.2.10) twierdzenie jest prawdziwe dla n-I. Przypuść-niy, źe powyższe rozwinięcie jest poprawne dla n = k. Wtedy z (7.2.11) wynika, że rozwiniecie F_k+i(h) zawiera te same potęgi h, które występują w rozwinięciu F_t(h). W rozwinięciu F*. ,(/$ współczynnik przy h^F* jot jednak, równy

n^tk)—a^W/F^k ** ⁺—;—

więc twierdzenie jest prawdziwe.

Jeśli znamy wykładniki p,,p₂,-- w rozwinięciu (7.2.10), to powyższe twierdzenie daje sposófe obliczania coraz lepszych oszacowań współczynnika a₀. Pierwszym składnikiem w wyrażeniu dla błędu obcięcia w F„ (A) jest    tak że błędy obcięcia zaczynają

się - gdy n rośnie - od coraz wyższych potęg h (pamiętajmy, że p_x <p₂<...).

Zastanowiwszy się chwilę nad wzoram: (7.2.11), czy telnik może się upewnić, że F*₊₁ (h) wyraża się przez k~\ wartości F_x{h)_i F_y(qh),..., F_x(q^kh). Zmieniając nieznacznie symbole, otrzymuje się następujący algorytm:

Algorytm. Dla m=0,1₃... przyjmuje się A_/n0=F(^~^mh₀) i oblicza się dla fc=l,2,... -• ■VW wielkości a.2.12)

q^Pk-i

Wartość    uznaje się za przybliżenie współczynnika a₀, gdy )/*„*-jest

mnjęjsze od dopuszczalnego błędu. Wyniki obliczeń można wygodnie rozmieścić w nastę

pujący sposób:

A    A    A

q*-\    q^fl-l    q»-1

<Ul3)

¹ock

*^10-

A₂Q

^30

-A u ^21 zł₃₅

i4jj

A32 A

33