259 2

259

7.2. Proste metody konstrukcji wzorów przybliżonych

DJń

taidej funkcji mającej piątą pochodną ciągłą mamy, wobec wzoru Taylora, wzór

4!

/(*)= i (^-^.,_ł)' + ^/< t ⁿ⁾iX-X_U1f + 0(k^S):

i**0    * •

= wielomian trzeciego stopnia4^/^<4}(x,_ł2)(*-Xt,₂)⁴ + ćKA⁵)

Szukane oszacowanie błędu jest wice następujące:

₍₇₁₂.₃₎    Rr=-xki W⁴⁾(*i_f2)+0(k*).

Dla /■(>)=x_o=0, x,=0.2 otrzymujemy (/. sześcioma cyframi ułamkowymi) /i_/2»łO + 1.221403) -fi *0.2(1 -1.22L403)=1.I05IÓ6.

R_t&-5- 1<T*.

Z tablic wynika, żc e^{o t} -1.105171. Jak widać, wartość przybliżona i oszacowanie błędu są 2 tym wynikiem doskonale zgodne.

Uwaga. Wzór

/„+1,2 * afn+*/■+!+ cf* + ^df*+1

zachodzi ula każdego n z tymi samymi współczynnikami. Ten wzór jest użyteczny w’ interpolacji, gdy łatwo oblicza się pierwszą pochodną funkcji.

Przykład 7.2.2. Znaleźć wzór

*»♦ t

J f(x)dx*h(af_M-₁-bJ_n+cj_H+l). gdzie x_n=x₀+nh,

*«- :

dokładny dia wielomianów' możliwie najwyższego stopnia. Podać odpowiednie oszacowanie błędu.

Aby uprościć rozumowania możemy przyjąć, że n =0, x_l!-0 (dlaczego?). Zgodnie ^{z VV2}°^rem Taylora mamy dla |x|<A

"^0{h"^h

Sdzic re^ zła jest zerem dla wszystkich wielomianów trzeciego stopnia. Stąd

*|    Aft    fc    ft

)/(*) dx =/₀ f dx -r/o J’ x dx +    J x²dx 4- kfó" f ^x*dx 4 O (A⁵)=

K "    -ft    -fc    -ft    -4

HmTfcr^-    ^2A/fl+.04-$feVó4-04-<?(A^s).

^rdzenia 7.1.$ wynika jednak, że

/^ = fe-²a-a-2/o+/i) + <W²)>