5600235768

1 Relacje 6

mi + U2 = ni + m2. Przestawmy składniki w pierwszej sumie i zamieńmy strony równości, dostaniemy + n\ = ni + m\. Z określenia p mamy

P (mi,T>i),

co oznacza, że y p x.

• przechodniość

Niech teraz x = {mi,ni),y = (rri2,712), z = (m3, 773) e X. Zakładamy, że x py oraz y p z. Z definicji p to daje

mi + ri2 = ni + tti 2    oraz m.2 + 713 = 112 + m 3.

Przenieśmy wyrazy o tych samych indeksach na jedną stronę w każdej z obu równości. Dostajemy

mi — ni = m.2 — ri2 oraz rri2 — ri2 = rris — n^.

Zauważmy, że zamiast słowa „oraz” możemy wstawić znak „=”, czyli mi — ni = ms — n%, co po przestawieniu wyrazów daje

mi + n₃ = ni + m₃.

Ta równość z określenia p oznacza, że (mi,ni) p {ms,ns), czyli x p z.

Relacja p jest relacją równoważności. Wyznaczmy teraz kilka klas abstrakcji naszej relacji p:

[(1,3)], = {(0,2), (1,3), (2,4).....}

[(1>2)], = {(0,1). (1.2). (2,3),...}

[(2,1)], = {(1,0), (2,1), (3,2),...}

Klasie [(l,3)]_p możemy przyporządkować liczbę 2, klasie [(l,2)]_p liczbę 1, a klasie [(2, l)]p liczbę —1. Ogólnie klasie [(m, n)]_p odpowiada wzajemnie jednoznacznie liczba n — m, która jest liczbą całkowitą, niekoniecznie naturalną. Inaczej mówiąc, w zbiorze par liczb naturalnych (m, n) wyabstrachowaliśmy cechę przystawania tych par, a mianowicie stałą różnicę zmiennych n — m będącą liczbą całkowitą.

Powyższy przykład to konstrukcja liczb całkowitych na zbiorze liczb naturalnych.

Twierdzenie 1.8. Relacja binarna na zbiorze wyznacza jego podział, wtw., gdy jest ona relacją równoważności.