5755073610

Rozdział 2

Pojęcia i twierdzenia

Celem tego rozdziału jest podanie najważniejszych definicji i kluczowych twierdzeń, których będę używać w dalszej części niniejszej pracy.

2.1. Definicje

Rozważam zagadnienie początkowe dla równania różniczkowego zwyczajnego

(2.1)

x(t) = f(t,x(t),u(t)), z(0) = £o,

gdzie xo € Rⁿ, x : [0, T\ —» R oraz u € U jest sterowaniem dopuszczalnym.

Sterowanie jest to funkcja mierzalna u : R —* R^m o wartościach w zadanym zbiorze U. Zbiór U będę nazywać zbiorem wartości sterowań. Zazwyczaj zakłada się, że U jest zwartym podzbiorem lZ^m. Zatem zbiór sterowań dopuszczalnych to zbiór postaci U =

{u : R —» R^m; u mierzalna; u(t) € U dla każdego £}.

Definicja 2.1.1 Dla zadanego sterowania u Eli rozwiązanie (2.1) nazywa się trajektorią odpowiadającą sterowaniu u i oznacza się x(t) = x(t, xq, u(-)).

Będę potrzebować również następujących definicji:

Definicja 2.1.2 Zbiorem prędkości będę nazywać zbiór postaci:

F(t,x) = {y : y = f(t,x,u) dla pewnego u € U}.

Definicja 2.1.3 Funkcjonał kosztu jest to funkcjonał V : R —> R^ra postaci T

V = J ąt,x(t),u(t))dt + <l>(T,x(T)),

0

gdzie x(t) jest trajektorią odpowiadającą sterowaniu u(t) 6 U. Całkowy wyraz, czyli L(t, x(t),u(t)) jest nazywany kosztem bieżącym, zaś (j>(T,x(T)) jest kosztem końcowym.

11