5851989583

d) f(x) =

V5- 1 dla x > 1,

tg a; dla -- < x < O,

^c) f(^x) = { .    ² tt ^xo = 0;

¹ — x dla O < x < —.

Naszkicować wykresy tych funkcji.

Lista 9

9.1. Zbadać z definicji, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie xo = 0: a) /(x) = 3 - tyx;    b) /(x) = tg tfć;

c) /(x) = v/| sinx|;    d*) /(x) = )/|*|+ v/R-

9.2. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji:

X _^+l.	b) y = 3cosx + tgx;	* _ e^x+I.
^d> y = [f + Jj)	e) y = (1+ ^x)tg (\/x);	f) y = e^x arc
g) y = ln (sin^2x+ l);	h) y = \/arcsin (x^2):	i) y = e^e‘;
2^si“^2 * ^j)y=3^^;	. tgx k*) y = x ;	1*) y = \/x.

9.3*. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć / ¹ (j/o)> jeżeli:

a)/(x) = x + lnx, j/o = e + l;    b)/(x) = cosx - 3x, j/o = 1;

c)    /(x) = ^x + tfć +    2/0 = 3;    d) /(x) = x³ + 3^X, y₀ = 4.

9.4.    Obliczyć /', /", /"' funkcji:

a) /(x) = 4x⁷ — 5x³ + 2x;    b) /(x) = x³ —    c) /(x) =

d) /(x) = arc tg x;    e) /(x) = sin³ x + cos³ x;    f) /(x) = x³ ln x.

9.5.    Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:

a)/(x)=arcsin|,    (1,/(1));    b)/(x) = ln (x²    + e), (0,/(O));    c)/(x) = e^tgx,

d) f(x) =    (₃,/(3));    e) /(x) =    (^2,/    (v5));    f*) /(x) =    (e,/(e)).

Lista 10

10.1.

a)    Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x⁴ — 2x + 5, która jest równoległa do prostej y = 2x + 3.

b)    Znaleźć styczną do wykresu funkcji /(x) = \/x, która tworzy kąt — z dodatnią częścią osi Ox.

c)    Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x ln x, która jest prostopadła do prostej 2x+6y — 1 = 0.

d)    Znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x arc tg —, w punkcie jego przecięcia z prostą 7rx = 4u.

x

e)    Wyznaczyć równanie prostej, która jest wspólną styczną wykresów funkcji /(x) = x² i g(x) = (x — 2)² + 4.

10.2.

a) Obliczyć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy funkcji:

o    x²

i) /(x) = x², g(x) = ęx, x > 0; ii) /(x) = 4 - x, g(x) = 4 - —, x > 0;

iii) f(x) = 1, g(x) = y/x, x > 0; iv) /(x) = tgx, g(x) = ctgx, 0 < x < ^.

8