5910202078

11

Izomorfizm. Równoważność norm

1.18.    Fakt. Domknięta kula jednostkowa przestrzeni co nie ma punktów ekstremalnych.

Dowód: Pokażemy, że każdy element x kuli Ko = {x E cq : ||x|| <1} jest środkiem pewnego odcinka leżącego całkowicie w Ko, tj., że x = \y+ \z dla pewnych dwóch różnych elementów y i 2 tej kuli. Jeżeli x ma postać x = {x\,X2,x%,...), to |x_n| ^ 1 dla n = 1,2,3... oraz x_n —*■ 0 przy n —* oo. Wybierzmy wskaźnik 710 tak, by |z„₀| < 1 i określmy elementy y = (yi,y₂, yz,...) i z = (zi, z₂, z₃,...) kładąc y_n = z_n = x_n dla n^no i przyjmując za y_no i z_no takie liczby, by były różne, by |y„₀| < 1, \z_nQ\ < 1 oraz, by x_no — \y_no + \z_n0. Wtedy y, z E Kq, y ^ z oraz x = \y + \z.    □

Definicja. Załóżmy, że w przestrzeni liniowej X dane są dwie normy || ||i i || ||2. Powiemy, że normy te są równoważne, gdy istnieją takie liczby C\ i C2, że

IMIi < CiW^h ^oraz \\^xh < c^lklb

dla wszystkich x E X.

1.19.    Twierdzenie. W przestrzeni liniowej X normy || ||i i || H2 są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżność ciągów w normie || ||i jest równoważne ich zbieżności w normie || |j2, czyli gdy odwzorowanie tożsamościowe Tx — x jest izomorfizmem przestrzeni [X, || ||i) na przestrzeń (X, || U2) .

Dowód: Jest jasne, że warunek

11^111^^11^112 dla xEX

wystarcza na to, by każdy ciąg zbieżny w normie || H2 był zbieżny w normie || ||i. Pokażemy, że warunek ten jest także konieczny.

Jeżeli nierówność

||rc|| 1 < C ||a;||2 dla xEX

nie zachodzi przy żadnej stałej C, to w X istnieje taki ciąg {x_n}, że IMIl > 71 lllnlls. 71 = 1,2, 3,. . . .

Wtedy dla ciągu

Dⁿ = /—ii n~^xni n = 1,2,3,...

V«|Fn||2

zachodzą nierówności

- >

Vn||*»ll

1

v/ń'