5910202095

9

Izomorfizm. Równoważność norm

to przestrzeń zupełna, bo granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Dla uniknięcia patologicznych przykładów będziemy zawsze zakładali, że S jest przestrzenią topologiczną całkowicie regularną. Typowymi przykładami, do których praktycznie wystarczy się ograniczyć, są przestrzenie C([a, 6]) oraz C(R).

Załóżmy, że przestrzeń topologiczna S jest lokalnie zwarta, tzn. każdy punkt w S posiada bazę otoczeń złożoną ze zbiorów zwartych. Oznaczmy przez Cq(S) podprzestrzeń C(S) złożoną z tych funkcji x, że dla każdego e > 0 istnieje zbiór zwarty K C S o własności |£(s)| < e dla s £ K. Jest to domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni C(S), jest zatem przestrzenią Banacha. O funkcjach x € Cq(S) mówi się czasem, że „znikają w nieskończoności”.

Przestrzenie Banacha c oraz co opisane w zadaniu 1.6 są szczególnymi przykładami odpowiednio przestrzeni C(S) oraz Cq(S) . Można je otrzymać np. biorąc za S zbiór {0,1, I,...} z topologią odziedziczoną z prostej R (jest to przestrzeń topologiczna normalna, lokalnie zwarta) i utożsamiając funkcje xna5z ciągami

Ws)}-

Izomorfizm. Równoważność norm

Powiemy, że przestrzenie unormowane X i Y są izomorficzne topologicznie, jeśli istnieje izomorfizm algebraiczny T : X —♦ Y, ciągły jako funkcja z przestrzeni topologicznej X do przestrzeni topologicznej Y i taki, że T^-1 : Y —> X jest także funkcją ciągłą, tj. izomorfizm algebraiczny będący homeomorfizmem. Izomorfizm nazwiemy izometrycznym (lub krótko izometrią), jeżeli ||Ta:|| = || a; || dla wszystkich x G X.

1.16. Przykład. Rozpatrzmy w przestrzeni R² dwie normy

||(*1,*2)||₁ = NI + |x₂|,    ||N,xj)||_0o = max{N|, NI}.

Twierdzimy, choć na pierwszy rzut oka może się to wydać nieprawdopodobne, że przestrzenie (R²,|| 111) i (R², || lloc) są izometrycznie izomorficzne. Odwzorowanie identycznościowe izometrią oczywiście nie jest, jest nią za to odwzorowanie (#1, X2) —► (xi -I- £2, ^— ^2) • Wynika to z równości

max{|£i +®2 |,|*i — *2!} = kil + N,

którą łatwo sprawdzamy rozpatrując przypadki, gdy liczby x\ i £2 są tego samego i przeciwnego znaku.