5910202084

17

Przestrzenie ilorazowe

Jest oczywiste, że T jest kontrakcją liniową. Pokażemy, że obrazem T jest cała przestrzeń X. Zauważmy w tym celu, że dla każdego x € X, każdej liczby naturalnej k i każdego £ > 0 istnieje taki wskaźnik n > k, że

[|*- PIP„|| ««•

Ustalmy dowolnie liczbę e > 0 i wybierzmy ciąg £i,£2»£3» • • • liczb dodatnich tak, by Ylh=i ^£k < ^£- Niech x będzie dowolnym elementem przestrzeni X. Wybierzmy wskaźnik ni tak, by ||rr — A_nia;_ni || < £\, gdzie przyjęliśmy oznaczenie A_ni = ||rr||, następnie wskaźnik ri2 > ni tak, by ||(x — A_nia:_ni) — A_n2:r_n2|| < £2, z oznaczeniem A_n2 = ||rc — A_nirr_ni||, itd. W rezultacie otrzymamy ciąg A_ni, A_na,... o własności

-Vifc+i ⁼ H³' (Anj^-ni "h Aji₂3'n2    A_nfca?_nfc)|| ^ Ek•

Uzupełnijmy go do ciągu A = (Ai, A2, A3,...) przez przyjęcie zer za brakujące składniki. Wtedy T(A) = x oraz

Pili = Y, < PU + Y ~k < Pil + £■

k—1    k=l

Wnosimy z tej konstrukcji, że T odwzorowuje £} na całą przestrzeń X. Określmy podprzestrzeń Y C ł¹ jako jądro

Y = {A € e¹ : T(A) = 0}

odwzorowania T. Wtedy T staje się algebraicznym izomorfizmem dr/Y na X. Ciągłość odwzorowania T gwarantuje, że Y jest domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni £}. Z powyższej konstrukcji wynika, że jeżeli T(X) = x, to dla dowolnego £ > 0 zachodzi nierówność

JlMlI <PII+£,

zaś z faktu, że T jest kontrakcją, wynika nierówność przeciwna

pii <11 w ||,

musi zatem być || [A] || = ||a;||. To dowodzi, że T jest izometrią £^l/Y na X.    Q