5910202086

19

Zadania uzupełniające

Zadania uzupełniające

1.34.    Dowieść, że przestrzeń i¹ ma nieprzeliczalną bazę Hamela.

1.35.    W przestrzeni C^k(R) złożonej z funkcji ograniczonych mających ciągłe i ograniczone pochodne do rzędu k włącznie wprowadzić tak normę, by stała się przestrzenią Banacha.

1.36.    Dowieść, że przestrzenie ZJ^R) i 1^(0,1), 1 < p < oo, są izometrycznie izomorficzne.

1.37.    Czy przestrzenie L¹(0,1) oraz L¹(0,1) x L¹(0,1) są izomorficzne?

1.38.    Załóżmy, że X i Y są podprzestrzeniami pewnej przestrzeni liniowej. Dowieść, że przestrzenie (X + Y)/Y oraz X/{XnY) są algebraicznie izomorficzne.

1.39.    Jeżeli Y jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Banacha X, to X/Y jest przestrzenią Banacha. Odwzorowanie kanoniczne r : X —> X/Y określone wzorem t(x) = [a;] jest ciągłe i otwarte (obraz zbioru otwartego jest otwarty).