5910202088

ROZDZIAŁ II

PRZESTRZENIE FUNKCJI CIĄGŁYCH

Przestrzenie funkcji ciągłych, obok przestrzeni Hilberta i przestrzeni typu I/, to podstawowe klasy przestrzeni Banacha. Szczególne miejsce zajmują w teorii aproksymacji i teorii szeregów Fouriera.

Dwa twierdzenia Weierstrassa

Oba twierdzenia mówią o możliwości jednostajnej aproksymacji na przedziale [a, b] funkcji ciągłych wielomianami, pierwsze wielomianami zwykłymi, a drugie wielomianami trygonometrycznymi.

2.1. Twierdzenie Weierstrassa. Każdą funkcję ciągłą na przedziale [a, b] można jednostajnie aproksymować wielomianami.

Dowód: Transformacja liniowa

s — a

s € [a, b],

sprowadza zagadnienie do przedziału [0,1]. Tu posłużymy się dowodem pochodzącym od Bernsteina.

Dla funkcji ciągłej x na przedziale [0, 1] niech x_n oznacza jej n-ty Wielomian Bernsteina

n