6581544261

TEORIA GIER - semestr zimowy 2011

Przykładowe rozwiązania

4. Gracz I, mąż, wychodzi pod wieczór z domu mówiąc, że idzie jeszcze popracować. W rzeczywistości dopiero zdecyduje, czy naprawdę pójdzie do pracy, czy spotka się z inną kobietą. Gracz II, żona, domyśla się tego i musi zdecydować, czy wysłać w ślad za mężem detektywa. Jeśli tego nie zrobi, nie dowie się niczego nowego i jej użyteczność wyniesie 0. Jeśli detektyw wyśledzi męża na spotkaniu z inną, użyteczność męża wyniesie —10, a żony 8. Jeśli mąż spotka się z inną, a żona nie dowie się o tym, użyteczność męża wyniesie 5. Użyteczność męża z pójścia do pracy wynosi p, przy czym 0 < p < 5. Za wynajęcie detektywa trzeba zapłacić c jednostek użyteczności. Detektyw jest lojalny wobec zleceniodawcy i na tyle sprawny, że mąż go nie "zgubi”.

(a)    Podać postać ekstensywną i normalną dwóch wersji tej gry: pierwszej z niepełną informacją i drugiej z pełną (w której mąż jest w stanie stwierdzić, czy detektyw go śledzi).

(b)    Przyjmując p = c = 2 wyznaczyć równowagi obu gier i podać wypłaty obu graczy w tych równowagach.

(c)    Jak droga musiałaby być praca detektywa, by gra z niepełną informacją miała równowagę w czystych strategiach?

5. Dwie firmy A i B konkurujące na pewnym rynku podejmują jednocześnie i niezależnie od siebie decyzję, czy rozpocząć kampanię negatywnej reklamy skierowanej przeciw konkurentowi. Obecnie każda z firm osiąga ze sprzedaży na tym rynku 10 i tak też pozostanie, jeżeli nikt nie zdecyduje się na rozpoczęcie kampanii. Prowadzenie kampanii kosztuje 15. Jeśli obie firmy prowadzą kampanię, podział rynku i dochody ze sprzedaży nie zmieniają się. Jeśli kampanię prowadzi tylko jedna firma, to jej konkurent zostaje wyeliminowany z rynku, a dochód ze sprzedaży produktu firmy, która pozostaje na rynku, wzrasta o 20 w przypadku firmy A i o r > 20 w przypadku firmy B .

(a)    Podać postać normalną i ekstensywną tej gry i wyznaczyć wszystkie jej równowagi Nasha.

(b)    Oznaczmy przez p(r) prawdopodobieństwo wyeliminowania z rynku firmy A w równowadze w strategiach mieszanych. Czy p jest rosnącą, czy malejącą funkcją zmiennej r?

(c)    Podać postać normalną i ekstensywną wersji tej gry z pełną informacją, w której firma A podejmuje decyzję jako pierwsza, a B decyduje znając już wybór konkurenta.

(d)    Czy w grze z pełną informacją korzystniej dla gracza jest decydować jako pierwszy, czy jako drugi? Uzasadnić odpowiedź.