3576901555

TEORIA GIER - semestr zimowy 2011 ZADANIA

3. Gry w postaci ekstensywnej

1.    Jaś i Małgosia dostali do podziału między siebie cztery zabawki, z których każda jest niepodzielna: dwie identyczne lalki, misia i czołg. Małgosi najbardziej z tych zabawek podoba się miś, trochę mniej lalki, a czołg wcale nie. Jasiowi najbardziej podoba się czołg, miś nieco mniej, a lalki go nie interesują. Dzieci uzgodniły, że najpierw jedno z nich wybierze sobie jedną zabawkę, a potem drugie - dwie z trzech pozostałych. Czwartą zabawkę bierze dziecko, które wybierało jako pierwsze.

(a)    Podać postać ekstensywną gry, w której pierwsza wybiera Małgosia, oraz gry, w której pierwszy wybiera Jaś, i wyznaczyć równowagi doskonałe obu gier. (Można przyjąć dla każdego dziecka wypłatę 2 za najbardziej łubianą zabawkę, 1 za średnio łubianą i 0 za bezwartościową). W której grze pierwsze wybierające dziecko nie bierze najpierw najbardziej preferowanej zabawki i dlaczego?

(b)    Rozpatrzeć wersję gier z p. (a) z niepełną informacją, w których pierwsze wybierające dziecko mówi drugiemu tylko, czy wzięło lalkę, czy nie, i w tym drugim przypadku drugie dziecko wybiera między wzięciem dwóch lalek a wzięciem lalki i nieznanej zabawki. Jak zmienia się postać ekstensywna w porównaniu z grą z pełną informacją? Czy w którejś z nowych gier można przeprowadzić indukcję wstecz?

2.    Dwaj gracze na przemian kładą po jednej monecie na początkowo pustym stole, przy czym zaczyna gracz I, a w każdym posunięciu można położyć 1 zł, 2 zł albo 5 zł. Gra kończy się w chwili, gdy na stole leży co najmniej 12 zł; wówczas gracz, który dokładał jako ostatni, zabiera ze stołu wszystkie pieniądze. Obaj gracze mają wystarczająco dużo monet, aby dołożyć dowolny nominał w każdej chwili.

Który z graczy (jeśli w ogóle) ma w tej grze strategię gwarantującą dodatnią wypłatę i na czym ta strategia polega? Opisać równowagę doskonałą tej gry i podać, jakie są w niej wypłaty graczy.

Czy odpowiedź zmieni się w sytuacji, gdy każdy z graczy ma dowolnie dużo złotówek i dwuzłotówek, ale tylko jedną pięciozłotówkę?

3.    Firma A jest monopolistą na pewnym rynku, z czego osiąga zysk 15. Wie jednak, że wejście na ten rynek rozważa potencjalny konkurent - firma B. Jeżeli B wejdzie na rynek i A się do tego dostosuje, wówczas każda z firm będzie zarabiać po 5. Jeżeli jednak A rozpocznie wojnę cenową, to każda z firm poniesie stratę w wysokości 1. Jeśli B zrezygnuje z wejścia, zarobi 2.

(a)    Narysować drzewo tej gry i wyznaczyć jej równowagę doskonałą. Czy gra ma inne równowagi?

(b)    Przypuśćmy, że rozpoczęcie wojny cenowej przez firmę A wiąże się nie tylko z obniżeniem ceny, ale także z przygotowaniem filmów i ulotek reklamowych informujących konsumentów o promocji cenowej. Firma A może zlecić tę kampanię i ponieść