720154753

4.5. Ciało ułamków 19

(3) Pierścień liczb całkowitych Gaussa Z[i] = {a + bi : a, b 6 Z} jest dziedziną Euklidesa z funkcją p określoną wzorem

ip(a + bi) = a² + b², a + bi € Z [i].

Kolejnym przykładem pierścienia euklidesowego, z którym spotkamy się w dalszej części wykładu będzie pierścień wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach z ciała K. W tym przypadku dobrą funkcją ip zadającą na K[X] strukturę pierścienia euklidesowego jest odwzorowanie, które wielomianowi przypisuje jego stopień. Jak udowodnimy dalej wynik dzielenia i reszta są wyznaczone jednoznacznie.

Okazuje się, że pierścień euklidesowy (P, ip) z jednoznaczną resztą (o ile nie jest ciałem) jest izomorficzny właśnie z pierścieniem K[X\, gdzie K = U(P) U {0} (³).

Udowodnimy teraz jedną ważną własność pierścieni Euklidesa, dotyczącą ideałów w takich pierścieniach.

Twierdzenie 4.4.1 (ideały w pierścieniu euklidesowym). Każdy pierścień Euklidesa jest pierścieniem ideałów głównych.

Dowód. Jeżeli (P, ip) jest pierścieniem Euklidesa, zaś I jest ideałem niezerowym w P, to zbiór ip(I \ {0}) jest niepusty, czyli posiada element najmniejszy. Niech więc b £ / \ {0} będzie takie, że

ip(b) = min{¥?(a) : a G I \ {0}}.

Weźmy teraz a G I. Istnieją wtedy takie q,r G P, że

a = bq + r, ip(r)<ip(b).

Ponadto r = a — bq G I. Gdyby r było elementem niezerowym to byłby to element należący do J\{0} o wartości <p(r) < <p(b) a przecież <p(b) to była wartość minimalna spośród obrazów elementów z I \ {0} czyli mielibyśmy sprzeczność. Musi więc być r = 0, skąd a — bq G (b) i ostatecznie I = (b).    □

4.5 Ciało ułamków

Jeżeli P jest pierścieniem całkowitym, to na zbiorze PxP* definiujemy relację (a, s) ~ (a¹, s') : ■<=> as¹ — a's = 0

Własność 4.5.1 (konstrukcja ciała ułamków). Wprowadzona powyżej relacja jest równoważnością na zbiorze P x P*.

Dowód. Zwrotność jest oczywista, bo gdy (a, s) G P x P*, to as — as = 0, zatem (a, s) ~ (a, s). Symetryczność jest równie prosta, gdyż jeśli (a, s) ~ (a¹, s¹), to as' — a's — 0 zatem również a's — as¹ — 0, czyli (a¹, s¹) ~ (a, s). Załóżmy teraz, że (a, s) ~ (a', s') oraz (a¹, s') ~ (a",s"). Wobec tego mamy as' — a's = 0 oraz a's" — a"s' = 0. Mnożąc pierwsze z równań przez s" a drugie przez s i dodając stronami dostaniemy, że s'(as" — a"s) — 0 a skoro s’ ^ 0 i pierścień jest całkowity to musi być as" — a"s = 0 skąd (a, s) ~ (a", s").    □

(³)Więcej o przykładach pierścieni euklidesowych oraz podanych wyżej charakteryzacjach można znaleźć w pracy dyplomowej Pani Anny Stańczyk O Pierścieniach Euklidesowych, Tarnów 2003.