720154756

4.6. Specjalne elementy w pierścieniach 21

4.6 Specjalne elementy w pierścieniach

Definicja 4.6.1 (relacja podzielności i stowarzyszenia). Jeśli P jest pierścieniem oraz a,b G P, to mówimy, że b dzieli a w P, jeśli istnieje takie c G P, że a — bc. Piszemy wtedy b \ a. Elementy a,b & R nazywamy stowarzyszonymi, jeśli a \ b oraz b \ a. Piszemy wtedy a ~ b.

Uwaga 4.6.2 (podstawowe własności stowarzyszenia).

(1)    Relacja stowarzyszenia jest symetryczna i przechodnia. Ponadto, jeśli pierścień ma jedynką, to jest to relacja zwrotna.

(2)    W przemiennym pierścieniu z 1^0 mamy: a ~ 1 a G U(P).

(3)    W przemiennym pierścieniu całkowitym z 1^0 mamy: a ~ b b = au dla pewnego u G U(P).

(4)    Liczby —2 i 2 są stowarzyszone w Z, zaś wielomiany 2x + 2 i x + l w Q[x].

Elementy nierozkładalne

Definicja 4.6.3 (element nierozkładalny). Jeśli P jest pierścieniem z 1 ^ 0, to element a G P\ (U(P) U {0}) nazywamy nierozkładalnym, gdy dla dowolnych b,cE P z faktu a = bc wynika b G U(P) lub c G U(P). Element a G P\(U(P)U{0}) nazywamy rozkladalnym, jeśli istnieją b, c - elementy nieodwracalne takie, że a = bc.

Przykład 4.6.4.

(1)    W pierścieniu Z każda liczba pierwsza p (podobnie —p) jest elementem nierozkładalnym. Są to jedyne elementy nierozkładalne w tym pierścieniu.

(2)    W pierścieniu wielomianów jednej zmiennej K[X] każdy wielomian postaci X — a jest nierozkładalnym elementem tego pierścienia.

Uwaga 4.6.5. Jeśli w pierścieniu P element a G P jest nierozkładalny, zaś u G P jest odwracalny, to element au też jest elementem nierozkładalnym pierścienia P.

Dowód. Element au jest niezerowy bo inaczej mnożąc przez u^-1 dostaniemy a — 0. Jest to element nieodwracalny bo w przeciwnym wypadku a byłby odwracalny. Niech teraz au = bc, wtedy a — (bu~¹)c. Z nierozkładalności elementu a wynika, że bu~^l lub c jest odwracalny. Jeśli więc c nie jest odwracalny to musi istnieć takie d G R, że bu~^ld = 1, czyli b jest elementem odwracalnym.    □

Własność 4.6.6 (pierwszość ideału a nierozkładalność generatora). Niech P będzie pierścieniem całkowitym oraz niech a G P*. Jeśli ideał (a) jest pierwszy, to element a jest nierozkładalny.

Dowód. Skoro ideał (a) jest pierwszy, to element a jest nieodwracalny, (inaczej (a) byłby całym pierścieniem). Ponadto, jeśli a = bc, gdzie b, c G P, to bc G (a), stąd b G (a) lub c G (a). Załóżmy, że b G (a). Istnieje wtedy takie u G P, że b = au, a stąd b — bcu i dzięki b 7^ 0 oraz całkowitości P mamy cu — 1, czyli c jest elementem odwracalnym. Analogiczne postępowanie, gdy c G (a), prowadzi do wniosku, że b jest odwracalny.    □