WYDZIAA
MECHANICZNO  TECHNOLOGICZNY
MiBM sem.1 studia inż.-mgr, rok 2008-2009
Zestaw 1
Zagadnienia: rachunek wektorowy, kinematyka punktu materialnego (m.in. rodzaje ruchu, ruch dwuwymiarowy w płaszczyz
nie - rzuty,
ruch po okręgu)
r
r r r r
r r
1. Dane są dwa wektory: oraz . Obliczyć: a) długość każdego wektora, b) iloczyn skalarny i
A = 2i + 6 j -10k B = -4 j + k
wektorowy, c) kąt zawarty między wektorami.
r
r r r
2. Siła - 2 j + 7k N
działa na punkt P(5, 2, 2) m. Jaki jest moment tej siły względem początku układu
F = 5i
współrzędnych O(0,0,0) a jaki względem punktu Q(0, 5, 0) m?
r(t)
3. Położenie ciała w układzie współrzędnych XY opisuje wektor , gdzie t  czas liczony w sekundach.
r = [t2 + 3t - 4,2]
Współrzędne wektora są wyrażone w metrach. W jakiej chwili czasu tx odległość tego ciała od początku układu
współrzędnych jest najmniejsza? Ile ona wynosi?
r r
m m
r r
4. Dwie cząstki A i B poruszają się wzdłuż osi OX i OY z prędkościami . W chwili t0 są one w
oraz
vA = 2i vB = 5 j
s s
punktach o współrzędnych PAo =(3m, 0) i PBo =(0, -3m). Znajdz
wektor, który określi położenie cząstki B względem
cząstki A w funkcji czasu. Kiedy i gdzie te cząstki będą najbliżej siebie?
5. Trzy siły 3F, 4F, 5F działają na cząstkę F = 2 N. Cząstka porusza się jednak ruchem jednostajnym prostoliniowym, wobec
tego, jakie są kierunki i zwroty działania sił. Narysuj i ewentualnie wykonaj obliczenia.
6. Jednocześnie wyrzucono w górę dwa ciała: jedno z prędkością v1 = 25 m/s, drugie pod kątem
ą = 300 do poziomu z prędkością v2 = 30 m/s. Znalez
ć ich prędkość względną
Ä…
Ä…
Ä…
7. Punkt materialny porusza się wdłuż osi OX zgodnie z równaniem x(t)=At  Bt2, gdzie A = 3cm/s i B=0,5 cm/s2. Znajdz

średnią prędkość w ciągu pierwszych 2, 6, 10 sekund ruchu oraz czas po którym odległość od początku układu
współrzędnych jest maksymalna. Oblicz średnie przyspieszenie między 5 i 10 sekundą ruchu i przyspieszenie chwilowe
w 11 sekundzie ruchu.
8. Punkt materialny porusza się w płaszczyz
nie XY, przy czym zależność współrzędnych położenia punktu od czasu podają
następujące zależności:
x = At2, y = B + Ct2, gdzie A = 5 m/s2, B = 2 m, C = 4 m/s2.
Opisać ruch ciała przedstawiając na wykresie:
" tor punktu materialnego postaci funkcji y = f(x),
" zależność prędkości oraz przyspieszenia punktu materialnego od czasu.
9. Ciało spadające swobodnie ma w punkcie A prędkość vA = 30 cm/s a w punkcie B prędkość
vB = 300 cm/s. Oblicz odległość AB wiedząc, że przyspieszenie ziemskie wynosi g.
10. Pod jakim kątem do poziomu należy wyrzucić ciało, aby zasięg rzutu był równy największej wysokości na jaką wzniesie
się ciało.
11. Ciało wyrzucono pod kątem ą do poziomu z prędkością początkową vo. Oblicz na jaką wysokość wzniesie się ciało, jak
Ä…
Ä…
Ä…
daleko upadnie od miejsca wyrzucenia oraz jak długo będzie trwał ruch. Wyznacz trajektorię ruchu ciała w postaci funkcji
y = f(x).
12. Wyprowadz
równanie toru poruszającego się ciała w rzucie poziomym oraz wyznacz przyspieszenie styczne i normalne
po czasie t. Ciało wyrzucone jest poziomo z wysokości H z prędkością v0.
13. Pod jakim kątem do poziomu należy wyrzucić ciało, aby zasięg rzutu był równy największej wysokości na jaką wzniesie
się ciało.
14. KoÅ‚o o promieniu R = 1 m obraca siÄ™ ze staÅ‚ym przyspieszeniem kÄ…towym µ = 2 rad/s2. Znalez
ć, dla punktów leżących na
µ
µ
µ
obwodzie koła, po czasie t = 0.5 s licząc od rozpoczęcia ruchu:
" prędkość kątową i liniową,
" przyspieszenie styczne, normalne i całkowite,
" kąt między kierunkiem przyspieszenia całkowitego promieniem koła.
15. Punkt materialny porusza się po okręgu z prędkością v = at, gdzie a = 0,50 m/s2. Znalez
ć jego przyspieszenie po
wykonaniu n = 0,10 obrotu