Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
14. MIMOÅšRODOWE ROZCI
GANIE I ÅšCISKANIE
14.1. Naprężenia i odkształcenia
Mimośrodowe rozciąganie pręta pryzmatycznego występuje wówczas gdy układ sił
zewnętrznych po jednej stronie jego przekroju poprzecznego redukuje się do wypadkowej
N równoległej do osi pręta, zaczepionej poza jego środkiem ciężkości. Poszukiwać będziemy
elementów macierzy naprężeń i odkształceń dowolnym punkcie tak obciążonego pręta.
Rozważmy więc, pokazany na rys. 14.1 pręt pryzmatyczny o polu przekroju poprzecznego A
określony w układzie osi (X, Y ,Z) w którym oś X jest osią pręta a osie (Y, Z) są głównymi
centralnymi osiami bezwładności jego przekroju poprzecznego. Materiał pręta jest
izotropowy, liniowo sprężysty o staÅ‚ych materiaÅ‚owych E oraz ½. Wypadkowa N , normalna
do przekroju, zaczepiona jest w punkcie o współrzędnych yN oraz zN.
Z
v(1,0,0)
Y
Z
(yN, zN)
N
N
N Y
Mz
X
My
II
I
A
x
Rys. 14.1
Przy rozwiÄ…zywaniu postawionego zadanie wykorzystamy wyniki uzyskane dla przypadku
osiowego rozciÄ…gania i prostego zginania.
Zgodnie z zasadą de Saint-Venanta statycznie równoważne obciążenia wywołują jednakowe
stany naprężenia i odkształcenia, a to pozwala zastąpić wypadkową N ,zaczepioną w punkcie
(yN, zN) równoważnym układem złożonym z siły podłużnej N , zaczepionej w środku
ciężkości pręta i dwoma momentami M = N zN i M = N yN , których wektory są
y z
równoległe do odpowiednich osi układu odniesienia (rys. 14.1). W ten sposób otrzymaliśmy
osiowe rozciąganie i dwa proste zginania względem osi Y i Z, dla których macierze naprężeń
są już nam znane. We wszystkich tych trzech przypadkach jedynym niezerowym elementem
macierzy naprężeÅ„ jest naprężenie normalne à . Sumowanie, zgodnie z zasadÄ… superpozycji,
x
daje wzór określające te naprężenia, dla analizowanego przypadku, w postaci:
M
N M
y
z
à = + z + y (14.1)
x
A J J
y z
lub, po wykorzystaniu zależności między N oraz, M i M w formie:
y z
N N zN N yN
à = + z + y . (14.2)
x
A J J
y z
Macierz odkształceń odpowiadając temu stanowi naprężenia łatwo wyznaczymy z równań
180
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
Hooke a, i będzie ona zawierała jedynie trzy odkształcenia liniowe, z których dwa są sobie
równe.
Wyżej otrzymane wzory mogą być również stosowane w tej formie przy mimośrodowym
ściskaniu prętów bardzo krępych, gdyż tylko wówczas spełniona jest zasada zesztywnienia,
przy której założeniu wzory te zostały wyprowadzone może być przyjęta. W przypadku
ściskania przypadku wypadkowa N ma zwrot przeciwny do normalnej zewnętrznej, a jej
współrzędnej N przypisujemy znak ujemny.
Jeżeli we wzorze (14.2) przestrzegać będziemy umowy znakowania sił podłużnych (plus dla
siły rozciągającej, minus dla ściskającej) oraz tego, że (yN, zN) oraz (y, z) oznaczają
współrzędne punktów w których wyznaczamy naprężenia w przyjętym układzie odniesienia,
to wyznaczone naprężenia będą miały znaki zgodne z przyjętą dla nich umową znakowania.
13.2. Analiza stanu naprężenia i odkształcenia
W tym przypadku w pręcie występuje jednoosiowy, niejednorodny stan naprężenia. Wartości
naprężeÅ„ normalnych à nie zależą od zmiennej x, sÄ… liniowÄ… funkcjÄ… zmiennych y i z .
x
Wyniki analizy stanu naprężenia i odkształcenia są analogiczne jak w przypadkach osiowego
rozciągania, prostego czy ukośnego zginania. Podobnie też jak w poprzednich przypadkach
koÅ„ce wektorów naprężenia à leżą na pÅ‚aszczyz
nie - płaszczyz
nie naprężeń. Krawędz

x
przecięcia się płaszczyzny naprężeń z płaszczyzną przekroju poprzecznego - oś obojętna-
stanowi miejsce geometryczne punktów, w których wartości naprężeń normalnych spełniają
równanie:
à = 0 .
x
Podstawiając do niego wyrażenie (14.2), a następnie dokonując kolejnych przekształceń
dostajemy równanie osi obojętnej dla rozważanego przypadku:
N N zN N yN zN * z yN * y zN * z yN * y
+ z + y = 0 1 + + =0 + = -1
2 2
A J J J A J A
iy iz
y z y z
y z
+ =1, (14.3)
ay az
2
2
(14.4)
iy
iz
Z
gdzie: ay = - , az = - ,
yN zN
( yN, zN )
to odcinki jakie oś obojętna odcina na osiach
ay Y
głównych centralnych (patrz rys.14.2), a
J
J
y
2 2 z
iy = oraz iz = - kwadraty głównych
oś obojętna
A A
az
centralnych promieni bezwładności przekroju
poprzecznego.
Rys. 14.2
Analizując równanie osi obojętnej (14.3) spostrzegamy, że w przypadku mimośrodowego
rozciÄ…gania:
" położenie osi obojętnej nie zależy od wartości siły obciążającej N,
181
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
" oś obojętna nie przechodzi przez środek ciężkości przekroju poprzecznego, a odcinki jakie
odcina na osiach układu współrzędnych znajdują się w jego ćwiartce po przeciwnej
stronie punktu przyłożenia siły,
" położenie osi obojętnej zależy od współrzędnych punktu przyłożenia siły obciążającej i
geometrii przekroju poprzecznego.
Naprężenia normalne à osiÄ…gajÄ… wartoÅ›ci ekstremalne w punktach przekroju poprzecznego
x
najdalej położonych od osi obojętnej.
Z
Rozkład tych naprężeń w przekroju
poprzecznym pręta pokazuje rys.14.3.
Y
Jest on wynikiem dodania do siebie
rozkładów z osiowego rozciągania i
X
dwóch prostych zginań względem osi
Y oraz Z.
oś obojętna
Rys.14.3
14.3. Wymiarowanie prętów mimośrodowo rozciąganych lub ściskanych
Ograniczymy się, jak poprzednio tylko do wymiarowania ze względu na stan graniczny
nośności przyjmując, że będzie on osiągnięty jeśli przynajmniej w jednym punkcie przekroju
poprzecznego wielkość naprężenia normalnego będzie równa wytrzymałości obliczeniowej.
Jeśli pręt wykonany jest z materiału, którego wytrzymałości obliczeniowe przy rozciąganiu Rr
i ściskaniu Rc , są różne to warunek stanu granicznego nośności stanowią nierówności:
max à d" Rr i max à d" Rc
x r x c
gdzie: max à i max à - najwiÄ™ksze naprężenia rozciÄ…gajÄ…ce i Å›ciskajÄ…ce w przekroju
x r x c
poprzecznym.
W przypadku materiału o tej samej wytrzymałości obliczeniowej na rozciąganie i ściskanie
(materiał izonomiczny) warunek wymiarowania będzie jeden:
max à d" R .
x
W przypadku materiału o tej samej wytrzymałości obliczeniowej na rozciąganie i ściskanie
(materiał izonomiczny) warunek wymiarowania będzie jeden:
max à d" R .
x
Gdy przekrój poprzeczny pręta ma dwie osie symetrii i obrys zewnętrzny jego kształtu jest
prostokątny np. dwuteownik, prostokąt z wyciętymi otworami itp., to maksymalne naprężenia
normalne wystąpi w narożu po przeciwnej stronie osi obojętnej i będzie miało wartość:
N M
M
y
z
max à = + + .
x
A Wy Wz
W tym miejscu ponownie należy podkreślić, że w przypadku mimośrodowego ściskania
konieczne jest spełnienie warunków pozwalających na przyjęcie zasady zesztywnienia, co
ogranicza zastosowanie wyprowadzonych zależności do krępych prętów.
182
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
13.4. Rdzeń przekroju
Jak już wyżej powiedziano, w przypadku mimośrodowego rozciągania lub ściskania oś
obojętna nie przechodzi przez środek ciężkości przekroju poprzecznego, jej położenie nie
zależy od wielkości siły obciążającej i określa je równanie odcinkowe prostej (14.3):
y z
+ =1.
ay az
Dowiedziemy dwóch prostych twierdzeń o osi obojętnej wynikających z tego równania.
Twierdzenie 1: oddalaniu się punktu przyłożenia siły od środka ciężkości przekroju
poprzecznego towarzyszy przybliżanie się osi obojętnej do środka ciężkości i odwrotnie.
Niech punkt 1 (rys.14.4) o współrzędnych ( yN1, zN1 ) określa
Z
początkowe przyłożenie siły, a
2
2
2
iy
iz
ay1 = - oraz az1 = - położenie odpowiadającej mu
Y
1
ay2
yN1 zN1 ay1
osi obojętnej l1. Niech punkt 2 o współrzędnych ( yN 2 , zN 2 )
az2
określa nowe przyłożenie siły, a
2
2
iy
iz
az1 l2
ay2 = - oraz az2 = - położenie odpowiadającej mu l1
yN 2 zN 2
osi obojętnej l2.
Rys. 14.4
Ponieważ yN 2 > yN1 oraz zN 2 > zN1 to ay2 < ay1 oraz az2 < az1 , co dowodzi
prawdziwości twierdzenia 1.
Twierdzenie 2: obrotowi osi obojętnej wokół ustalonego punktu odpowiada przemieszczanie
się punktu przyłożenia siły po prostej.
Niech punkt A o współrzędnych (yA , zA ) (rys.14.5) leży na osi
obojętnej l odpowiadającej przyłożeniu siły w punkcie 1 o
współrzędnych (yN , zN ).
Z
Współrzędne obu punktów spełniają równanie osi obojętnej
(14.3)
Y
yA zA
1
=1.
2 2
(- iz yN )+ (- iy zN )
l
Jeśli przekształcimy to równanie do postaci:
yN zN
A
=1
2 2
(- iz yA)+ (- iy zA)
w którym współrzędne (yA , zA ) będą ustalone, to widać, że
Rys. 14.5
współrzędne punktów przyłożenia siły (yN , zN ) spełniają
równanie prostej co dowodzi słuszności twierdzenia 2.
W przypadku mimośrodowego rozciągania i ściskania naprężenia normalne w przekroju
mogą być jednakowego lub różnych znaków. Będą one miały we wszystkich punktach
183
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
przekroju ten sam znak jedynie wtedy, gdy oś obojętna  której położenie zależy od
współrzędnych położenia wypadkowej sił obciążających  będzie leżała poza przekrojem lub
była styczna do niego. Miejsce geometryczne punktów przekroju poprzecznego pręta w
których przyłożona siła, równoległa do jego osi wywołuje naprężenia normalne jednego
znaku w całym przekroju nazywać będziemy rdzeniem przekroju. Zagadnienie wyznaczenia
rdzenia przekroju ma istotne znaczenie praktyczne w przypadku prętów mimośrodowo
ściskanych wykonanych z materiałów o niewielkiej wytrzymałości na rozciąganie (np. słupy
betonowe czy filary ceglane). Takie konstrukcje dobrze jest kształtować w formie
zapewniającej położenie wypadkowej siły ściskającej wewnątrz rdzenia przekroju, co
zapewnia występowanie jedynie naprężeń ściskających. Wyznaczenie rdzenia przekroju
prześledzimy (nie tracą ogólności rozważań) na przykładzie pokazanym na rys.14.6.
Po wyznaczeniu głównych centralnych osi
5
3
bezwładności (Y, Z) i wartości ich promieni
Z
4
4
bezwładności iy oraz iz prowadzimy styczną
1
2
1-1 uważając ją za oś obojętną. Styczna 1-1
odcina na osiach układu współrzędnych
2
odcinki ay1 oraz az1.
5
3
3
Współrzędne punktu 1 przyłożenia siły,
4
A
któremu odpowiada oś obojętna 1-1
1
1
wyznaczamy wykorzystując zależności (14.4)
Y
5
występujące w ogólnym równaniu osi
2
Rys. 14.6
obojętnej
2
2
iy
iz
yN1 = - , zN1 = - .
ay1 az1
PowtarzajÄ…c rozumowanie dla kolejnych stycznych do obrysu przekroju dostajemy punkty 2,
3, 4 i 5, które są punktami krzywej rdzeniowej tzn. krzywej o tej własności, że przyłożenie
siły w jej punktach daje osie obojętne, styczne do przekroju. Całą krzywą rdzeniową
otrzymujemy Å‚Ä…czÄ…c te punkty odcinkami prostych. Wynika to z twierdzenia 2 bo od osi
obojętnej 1-1 do osi obojętnej 2-2 przechodzimy obracając je wokół punktu A, temu zaś
zgodnie z tym twierdzeniem towarzyszy przesuwanie się punktu przyłożenia siły po prostej.
Punktom przyłożenia siły wewnątrz krzywej rdzeniowej odpowiadają osie obojętne poza
przekrojem i wynika to z twierdzenia 1 o oddalaniu się osi od środka ciężkości jeśli siła
zbliża się do niego. Zatem rdzeń przekroju w analizowanym przypadku stanowi ten
zacieniony obszar.
Z opisanej metody konstrukcji rdzenia wynika kilka prostych wskazówek odnośnie kształtu
rdzenia dla przekrojów ograniczonych odcinkami prostych:
" rdzeń jest figurą wypukłą
" ma tyle boków, ile boków ma najmniejszy wielobok opisany na przekroju
" jest figurÄ… symetrycznÄ… dla symetrycznego przekroju.
W przypadku przekrojów o brzegu krzywoliniowym, równanie stycznej do brzegu razem ze
znanym równaniem brzegu i zależnościami (14.4) pozwala na napisanie równania krzywej
rdzeniowej i tym samym wyznaczenie ich rdzenia przekroju.
184
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
14.5. Przykłady
b
Przykład 14.5.1. Drewniany słup o przekroju
prostokÄ…tnym b × h = 20 × 36 cm i niewielkiej
P
wysokości obciążony jest w narożu siłą ściskającą
h
P = 100 kN. Wyznaczyć rozkład naprężeń
normalnych w przekroju poprzecznym słupa i
położenie osi obojętnej.
X
RozwiÄ…zanie Y
Występuje tu klasyczny przypadek mimośrodowego
ściskania, w którym przy przyjętym układzie osi
odniesienia (to osie główne centralne przekroju
Z
poprzecznego):
3
2
N = -100 kN, yN =b 2 =10 cm, zN = h 2 =18cm,
h
A =b h = 20* 36 = 720 cm2, Y 2
h
J =b h3 12 = 20* 363 12 = 77760 cm4,
y
2
4
1
J = h b3 12 = 36* 203 12 = 24000 cm4,
z
P Z
b
b
2
iy = J A=77760 720 =108cm2,
y
2
2
2
iz = J A= 24000 720 =33.33 cm2.
z
Naprężenia normalne określa zależność:
N N zN N yN
à = + z + y ,
x
A J J
y z
która, po podstawieniu wyżej otrzymanych wartości, przyjmuje formę:
à =(-1.389 - 23.148 z - 41.667 y)* 106 .
x
Wartości naprężeń w narożach są równe:
à = [-1.389- 23.148(0.18)- 41.667(0.10)] *106 = - 9.722 MPa,
x,1
à = [-1.389 - 23.148(- 0.18)- 41.667(0.10)] * 106 = -1.389 MPa,
x,2
à = [-1.389- 23.148(- 0.18)- 41.667(- 0.10)] *106 = 6.944 MPa,
x,3
à = [-1.389 - 23.148(0.18)- 41.667(- 0.10)] * 106 = -1.389 MPa.
x,4
Oś obojętna jest prostą o równaniu:
y z
+ =1
ay az
185
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
2
2
iy 108
iz 33.33
w którym ay = - = - = -3.33cm oraz az = - = - = -6.00 cm to odcinki
yN 10 zN 18
jakie ta prosta odcina na głównych centralnych osiach bezwładności przekroju poprzecznego.
Rozkład naprężeń pokazuje poniższy rysunek.
1.389
az
Y
à x
MPa
ay
9.723
Z
1.389
oś obojętna
Przykład 14.5.2. Stalowy słupek wykonany z dwuteownika 500 pokazany na rysunku,
przenosił osiowo równomiernie rozłożone obciążenie q = 13 MN/m2 ze sztywnej żeliwnej
pÅ‚yty o wymiarach b×h = 0.7×0.4 m. SÅ‚upek postanowiono wzmocnić przyspawanym
ceownikiem 260 na całej jego wysokości.
Sprawdzić jak zmienią się wartości naprężeń normalnych w wyniku wzmocnienia, wyznaczyć
wykresy naprężeń normalnych w przekrojach słupka przed i po wzmocnieniu.
P
q = 1300 kN/m2
Z
Profil walcowany PN I 500
70.0
Y
A = 180 cm2
50
Jy = 68740 cm4, Jz = 2480 cm4
50.0
X
Wy = 2750 cm3, Wz = 268 cm3
Y
18
Z
25.0 25.0
2.36
Profil walcowany PN [ 260
Z Y
Y
A = 48.3 cm2
40.0
18.0 26
Jy = 4820 cm4, Jz = 317 cm4
9
wymiary w cm
186
1.389
6.945
1.389
9.723
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
RozwiÄ…zanie
Wypadkowa obciążenia działająca na słupek
P = qbh =13* 0.7* 0.4 =3.64 MN.
Stan przed wzmocnieniem
25.0 25.0
Słupek jest ściskany osiowo siłą podłużną
Z Y
N = - 3.64 MN i naprężenia normalne w
N
każdym punkcie jego przekroju są równe:
N 3.64
à x
à = = - = - 202.22 MPa.
x
A
180* 10-4 MPa
Stan po wzmocnieniu
Należy wyznaczyć położenie głównych centralnych osi
wzmocnionego przekroju. Oś Y nie zmieni położenia.
9 25
25
Położenie środka ciężkości wzmocnionego przekroju
Z Z0
A=180 + 48.3= 228.3cm2,
2 Mz Y 1
Sz0 = 48.3* ( -27.36 )= -1321.49 cm3,
Sz0 -1321.49
5.79 1
y0 = = = -5.79 cm. 2
N
A 228.3
28.21 30.79
Ponieważ położenie wypadkowej obciążenia nie zmieniło się
mamy teraz do czynienia z mimośrodowym ściskaniem w
którym siła na mimośrodzie 5.79 cm powoduje zginanie
względem osi Z momentem o wartości:
M =3.64* 5.79* 10-2 = 0.211 MNm.
z
à x
Moment bezwładności przekroju względem osi zginania:
MPa
J = 68740 +180* 5.792 + 317 + 48.3* (- 21.57)2 =97564cm4
z
Rozkład naprężeń normalnych:
N M
z
à = - y
x
A J
z
Wartości naprężeń we włóknach skrajnych wynoszą:
- 3.64 0.211
1-1
à = - (0.3079) = - 226.03 MPa,
x
228.3* 10-4 97564* 10-8
- 3.64 0.211
2-2
à = - (- 0.2821) = - 98.43 MPa.
x
228.3* 10-4 97564* 10-8
Wyniki obliczeń dowodzą, że planowane wzmocnienie pogorszy stan mechaniczny słupka,
powodując zwiększenie naprężeń normalnych.
187
202.22
98.43
226.03
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
Przykład 14.5.3. Belka wspornikowa o
przekroju prostokÄ…tnym b × h = 0.12 × 0.24 m
q
Z
i długości l = 2.0 m obciążona jest, jak na
Ä…
rysunku, obciążeniem ciągłym q = 2.0 kN/m,
działającym w płaszczyz
nie nachylonej pod
kątem ą = 30o do płaszczyzny (X, Z) oraz
P
dwiema siłami skupionymi P = 20.0 kN i
Y
P1
h
P1 = 1.0 kN. W przekroju utwierdzenia
l
wyznaczyć rozkład naprężeń normalnych i
X
stycznych oraz położenie osi obojętnej.
b
RozwiÄ…zanie
Zadanie rozwiążemy, wykorzystując zasadę superpozycji sumując momenty zginające, siły
poprzeczne i podłużne w przekroju utwierdzenia od poszczególnych obciążeń.
Z
Ä… Ä… = 30 °
Obciążenie ciągłe q
Składowe obciążenia ciągłego q wynoszą:
qy = 1.00
Y
qy = q sinÄ… = 2.0* 0.500=1.00 kN/m,
qz = 1.73
qz = q cosÄ… = 2.0* 0.866=1.73 kN/m.
q= 2.00
W przekroju utwierdzenia daje ono dwa
Z
momenty zginajÄ…ce:
M = qz * 2* 1 = 1.73* 2 =3.46 kNm,
y
Qz = 3.46
Qy = 2.00
M = qy * 2* 1= 1* 2= 2.00 kNm, oraz dwie siły
z
Y
poprzeczne:
My = 3.46
Mz = 2.00
Qy = qy * 2 = 1* 2 = 2.00 kN,
Qz = qz * 2 = 1.73* 2=3.46 kN.
Siła skupiona P
Z
Siła rozciągająca P, równoległa do osi pręta, jest
zaczepiona w narożu i daje momenty zginające:
My = 2.40
M = P h 2 = 20* 0.12 = 2.40 kNm,
y
Y
M = P b 2 = 20* 0.06 =1.20 kNm,
z
Mz = 1.20
N = 20.00
oraz siłę podłużną N = 20.00 kN.
Siła skupiona P1
Z
Siła skupiona P1 działająca w płaszczyz
nie (X, Y),
prostopadła do osi pręta daje moment zginający: Mz = 2.00
Qy = 1.00
M = P1 * 2 = 2.00 kNm,
Y
z
oraz siłę poprzeczną Qy = 1.00 kN.
188
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
W wyniku sumowania w przekroju utwierdzenia
otrzymujemy:
" siłę podłużną N i dwa momenty zginające
M oraz M które to siły przekrojowe
y z
Z
generują naprężenia normalne:
4 1
M
N M
y
z
My = 5.86
Qy = 1.00
à = + z + y
x
Y
A J J
y z
" dwie siły poprzeczne , które generują naprężenia Mz = 1.20
N = 20.00
styczne:
2
3
Qz = 3.46
Qy Sz (y) Qz S (z)
y
Ä = - oraz Ä = - .
xy xz
J h(y) J b(y)
z y
Charakterystyki geometryczne przekroju są równe:
A =b h =12* 24 = 288 cm2,
J =b h3 12 =12* 243 12 =13824 cm4, J = hb3 12 = 24* 123 12 =3456 cm4,
y z
Wy =b h2 6=12* 242 6 =1152 cm3, Wz = hb2 6 = 24* 122 6 =576 cm3
Naprężenia normalne w narożach wynoszą:
M
N M 20*103 5.86*103 1.20*103
y
z
à = + + = + + =7.865*106 Pa,
x1
A Wy Wz
288*10-4 1152*10-6 576*10-6
M
N M 20*103 5.86*103 1.20*103
y
z
à = - + = - + =- 2.309*106 Pa,
x2
A Wy Wz
288*10-4 1152*10-6 576*10-6
M
N M 20*103 5.86*103 1.20* 103
y
z
à = - - = - - = - 6.476*106 Pa,
x3
A Wy Wz
288* 10-4 1152* 10-6 576* 10-6
M
N M 20* 103 5.86* 103 1.20*103
y
z
à = + - = + - =3.698* 106 Pa.
x4
A Wy Wz
288*10-4 1152* 10-6 576*10-6
Równanie osi obojętnej:
M
N M 20* 103 5.86* 103 1.20* 103
y
z
à = + z + y = 0 + z + y = 0 ,
x
A J J
288* 10-4 13824* 10-8 3456* 10-8
y z
z = -0.0164 - 0.818y .
W przekroju prostokątnym naprężenia styczne mają rozkład paraboliczny i osiągają
maksymalną wartość 3Q 2A w punktach na osi zginania, stąd:
3Qy 3*1*103
max Ä = = =0.0521*106 Pa,
xy
2A
2* 288*10-4
189
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
3Qz 3* 3.46*103
max Ä = = =0.180*106 Pa.
xz
2A
2* 288*10-4
Rozkłady naprężeń normalnych i stycznych pokazują poniższe rysunki:
Äxy
MPa
Z
3.698 7.865 Z
Y
Y
à x
0.180
MPa
Äxz
MPa
6.476 2.309
Przykład 14.5.4. Obliczyć minimalną grubość a
q=50 kN/m
betonowej ściany zbiornika wodnego (patrz
a a
rysunek), przy której u jej podstawy nie będą
2 2
występowały naprężenia rozciągające. Na ścianę o
wysokości hs = 8 m oprócz parcia wody działa w jej
płaszczyz
nie środkowej pionowe obciążenie q = 50
kN/m. Wysokość słupa wody hw = 6 m. W
obliczeniach należy uwzględnić ciężar własny
ściany wykonanej z materiału o ciężarze
X
W
objętościowym łb = 22 kN/m3 . Ciężar objętościowy
wody Å‚w = 10 kN/m3 .
2 m
RozwiÄ…zanie
Y
Obliczenia wykonujemy na 1m długości ściany.
a
6 m
Wpierw zredukujemy obciążenia działające na
ścianę do środka ciężkości jej przekroju u
Z
podstawy.
2 Mz 1
Y
1m
Obciążenie pionowe stanowi sumę obciążenia
zewnętrznego oraz ciężaru własnego i działa ono w
2 N 1
środku ciężkości.
P = q*1+ a*1* hs * Å‚ =50 + a* 8* 22 = 176a + 50
b
Obciążenie poziome wynikające z parcia wody zaczepione jest w środku ciężkości trójkąta
parcia i wynosi:
2
1* hw 62
W = Å‚ = 10 =180 kN.
w
2 2
190
0.0521
3.698
7.865
6.476
2.309
8 m
6 m
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
Obciążenie to daje u podstawy ściany moment:
hw
M = W * = 180* 2 = 360 kNm.
z
3
W rezultacie przekrój u podstawy ściany obciążony jest osiowo siłą ściskającą
N = - (176 a + 50 ) i momentem M = 360 kNm ( w wyniku redukcji w przekroju występuje
z
jeszcze siła pozioma W ale nie wywołuje ona naprężeń normalnych).
Naprężenia normalne w przekroju podstawy ściany wyznaczymy ze wzoru:
N M
z
à = - y ,
x
A J
z
gdzie: A = a* 1 oraz J = 1* a3 12 .
z
Po stronie 1-1 na pewno wystąpią naprężenia ściskające, po stronie 2-2 mogą wystąpić
naprężenia rozciągające (na skutek działania momentu M ). Aby je wyzerować należy
z
wykonać ścianę o grubości a spełniającej relację:
- (176 a + 50)*103 360* 103
2-2
à = - (- a 2) = 0 a = 3.37 m.
x
a
a3 12
Przykład 14.5.5. Pomiary tensometryczne wykazały, że odkształcenia liniowe we włóknach
skrajnych 1-1 oraz 2-2 mimośrodowo rozciąganego pręta stalowego o przekroju prostokątnym
2-2
wynoszÄ… , odpowiednio,µ1-1 = 8*10-4 i µ = 1*10-4 . ZakÅ‚adajÄ…c, że moduÅ‚ Younga stali
x x
E = 205 GPa wyznaczyć wartości siły P oraz mimośrodu e.
Z
µ1-1
x
1 1
P
P
P
Z
Y
e
e
wymiary w cm
8.0
X
2-2
2 2
1.5
µ
x
RozwiÄ…zanie
Naprężenia normalne we włóknach skrajnych wynoszą:
1-1
à = E µ1-1 = 205* 109 * 8*10-4 = 164 MPa,
x x
2-2 2-2
à = E µ = 205* 109 * 1* 10-4 = 20.5 MPa.
x x
W analizowanym przypadku występuje mimośrodowe rozciąganie na mimośrodzie e
względem osi Y lub, inaczej osiowe rozciąganie siłą N = P oraz zginanie względem osi Y
momentem M = P e .
y
Ponieważ mamy wyznaczone naprężenia we włóknach skrajnych to możemy zastosować
wzory:
191
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
M M
N P P e N P P e
y y
1-1 2-2
à = + = + , à = - = - .
x x
A Wy A Wy A Wy A Wy
1.5* 82 * 10-6
PodstawiajÄ…c do nich A = 8*1.5*10-4 = 12*10-4 m2 i Wy = = 16* 10-6 m3,
6
otrzymujemy układ równań z którego możemy wyznaczyć poszukiwane wartości P oraz e :
P P e
Å„Å‚164*106
= +
ôÅ‚
ôÅ‚
12* 10-4 16* 10-6
P = 110.70*103 N, e = 1.04*10-2 m.
òÅ‚
P e
ôÅ‚20.5* 106 P
= -
ôÅ‚
ół 12* 10-4 16* 10-6
Przykład 14.5.6. Wyznaczyć rdzeń przekroju dla prostokąta.
2
Z
RozwiÄ…zanie
h 2
J 1
b h3 12 h2
y
2
iy = = = , Y
A b h 12
h 3
2
J hb3 12 b2
2
z
iz = = = .
h 2
A b h 12
b 3
1
1
b 2 b 2
2
Punkty krzywej rdzeniowej:
oś obojętna 1-1
2
2
iy h2 12 h
iz b2 12 h
ay1 = " , yN1 = - = - =0 ; az1 = - , zN1 = - = - = .
ay1 " 2 az1 - h 2 6
oś obojętna 2-2
2
2
iy h2 12
b iz b2 12 b
ay2 = , yN 2 = - = - = - ; az2 = " , zN 2 = - = - =0 .
2 ay2 b 2 6 az2 "
Pozostałe punkty symetrycznie.
Przykład 14.5.7. Wyznaczyć rdzeń przekroju dla trójkąta.
2
Z
RozwiÄ…zanie
J
b h3 36 h2
y
2
iy = = = ,
2h 3
A b h 2 18
1
J hb3 48 b2 Y
2 z
iz = = = .
A b h 2 24
2
h 3
1 1
Punkty krzywej rdzeniowej:
b 2
b 2
2
oś obojętna 1-1
192
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
2
2
iy h2 18 h
iz b2 24 h
ay1 = " , yN1 = - = - =0 ; az1 = - , zN1 = - = - = .
ay1 " 3 az1 - h 3 6
oś obojętna 2-2
2
2
iy h2 18 h
b iz b2 24 b 2h
ay2 = , yN 2 = - = - = - ; az2 = , zN 2 = - = - = - .
3 ay2 b 3 8 3 az2 2h 3 12
Pozostałe punkty symetrycznie.
Przykład 14.5.8. Wyznaczyć rdzeń dla podanego przekroju.
RozwiÄ…zanie
60 cm 60 cm
Z
Osie symetrii (Y, Z) są osiami głównymi centralnymi.
A = 2* 602 = 72* 102 cm2,
60 cm
1204 604
1
J = - 2 = 1512 * 104 cm4,
y
2
12 12
2
604
J = 2 = 216* 104 cm4,
z
12
60 cm
J
1512*104
y
2
iy = = = 2100 cm2,
A
72* 102
1 1
J 216* 104
2 z
Y
iz = = =300 cm2.
2
A
72* 102
Punkty krzywej rdzeniowej:
oś obojętna 1-1
2
iz 300
ay1 = 60 2 = 84.85 cm, yN1 = - = - = -3.54 cm,
ay1 84.85
2
iy 2100
az1 = - 60 2 = -84.85 cm, zN1 = - - = 24.75 cm.
az1 - 84.85
oś obojętna 2-2
2
iz 300
ay2 = 60 2 2 = 42.43 cm, yN 2 = - = - = -7.07 cm,
ay2 42.43
2
iy 2100
az2 = " , zN 2 = - = - =0 .
az2 "
Pozostałe punkty symetrycznie.
193
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
Przykład 13.5.9. Wyznaczyć rdzeń dla półkola.
Z
RozwiÄ…zanie 2
3
3
4
J
0.11r 0.11* 304
y
2
iy = = = = 63.03 cm2,
17.27 cm
2 1
A
Ä„ r 2 Ä„ 302 2
2
Y
4
J Ä„ r 8 Ä„ 304 8 4r/3Ä„ = 12.73 cm
2 z 3
iz = = = = 225.00 cm2.
1
2 1
A
Ä„ r 2 Ä„ 302 2
r = 30 cm r = 30 cm
Punkty krzywej rdzeniowej
2
oś obojętna 1-1
2
iz 225.00
ay1 = " , yN1 = - = - = 0 ,
ay1 "
2
iy 63.03
az1 = - 4r 3Ä„ = - 4* 30 3Ä„ = -12.73cm, zN1 = - - = 4.95 cm.
az1 -12.73
oś obojętna 2-2
2
iz 225.00
ay2 = r = 30.00 cm, yN 2 = - = - = -7.50 cm,
ay2 30.00
2
iy 63.03
az2 = " , zN 2 = - = - = 0 .
az2 "
oś obojętna 3-3
2
iz 225.00
ay2 = " , yN 2 = - = - = 0
ay2 "
2
iy 63.03
4 r 4* 30
az2 = r - = 30 - = 17.27 cm, zN 2 = - = - = - 3.65 cm.
3Ä„ 3Ä„ az2 17.27
Krzywa rdzeniowa między punktami 2 i 3 nie jest prostą (jest połową elipsy) gdyż od osi
obojętnej 2-2 do osi 3-3 przechodzimy ze stycznymi do brzegu w punktach styczności
zmieniającymi zmieniającymi na nim swe położenie.
Przykład 14.5.10. Wyznaczyć rdzeń dla podanego przekroju.
wymiary w m
0.120
0.060
0.120
194
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
RozwiÄ…zanie
0.065
4
3
Z
Zc wymiary w m
0.06
e
z
Yc
0.06
e 29.23°
y
0.050
Z0
Y
2
1
Y0
0.03 0.03 0.04 0.08
Charakterystyki geometryczne przekroju
Pole powierzchni i środek ciężkości
A = 0.12*0.06 + 0.5*0.12*0.12 = 144*10-4 m2,
Syo = 0.12*0.06*0.06 + 0.5*0.12*0.120*0.04 = 720*10-6 m3,
Szo = 0.12*0.06*0.03 + 0.5*0.12*0.12*0.10 = 936*10-6 m3,
yo = Szo /A = 936*10-6/144*10-4 = 0.065 m.
zo = Syo /A = 720*10-6/144*10-4 = 0.050 m.
Momenty bezwładności względem osi centralnych
Jyc = 0.06*0.123/12 +0.12*0.06*0.012 + 0.12*0.123/36 +
0.5*0.12*0.12*(-0.012) = 1584*10-8 m4,
Jzc = 0.12*0.063/12 +0.12*0.06*(-0.035)2 + 0.12*0.123/36 +
0.5*0.12*0.12*0.0352 = 2556*10-8 m4,
Jyczc = 0.12*0.06*(-0.035)*0.01 - 0.122*0.122/72 +
0.5*0.12*0.12*0.035*(-0.01) = -792*10-8 m4.
Osie główne centralne i momenty bezwładności względem tych osi
2
J + J J
ëÅ‚ -J
öÅ‚
1584*10-8 +2556*10-8
yc zc yc zc
2
ìÅ‚ ÷Å‚
J1,2 = Ä… +J = Ä…
yczc
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚1584*10-8
2
-2556*10-8 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
+(- 792*10-8)
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
J
2
z
J1 = Jz = 2999.23*10-8 m4 ; iz = =20.828*10-4 m2,
A
J
2
y
J2 = Jy = 1140.77 *10-8 m4 ; iy = =7.922*10-4 m2,
A
195
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
J
- 792
yczc
tgÄ…1 = = =1.7869 Ä…1 = 60.77o ,
J - J1 2556 - 2999.23
zc
J
- 792
yczc
tgÄ…2 = = = -0.5596 Ä…2 =- 29.23o .
J - J2 2556 -1140.77
zc
Sprawdzenia:
Jyc + Jzc = Jy + Jz ; (2556 + 1584)*10-8 = (1140.77 + 2999.23)*10-8 m4,
ćł Ä…1ćł+ćł Ä… ćł= 29.23° + 60.77° = 90°.
2
Wyznaczenie współrzędnych punktów krzywej rdzeniowej
Rdzeń definiowany jest w układzie osi głównych centralnych (Y, Z), należy zatem wyznaczyć
współrzędne punktów jego konturu w tym układzie.
Wygodnie jest wyznaczyć je korzystając z macierzy przejścia od układu osi centralnych
(Yc, Zc) do układu osi głównych centralnych (Y, Z).
y cos(- 29.23°) , sin(- 29.23°)÷Å‚ ìÅ‚ yc 0.8726, - 0.4884 yc
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= =ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
z cos 60.77°, sin 60.77° zc ÷Å‚ íÅ‚ 0.4884, 0.8726 zc ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Wyznaczone w ten sposób współrzędne punktów konturu przekroju podane są w tabelce
poniżej:
Współrzędne Punkty
[10-2m] 1 2 3 4
yc -6.500 11.500 -0.500 -6.500
zc -5.000 -5.000 7.000 7.000
y -3.230 12.477 -3.855 -9.091
z -7.538 1.254 5.864 2.934
Dalej przy wyznaczaniu odcinków ay i az , przez które oś obojętna przechodzi na osiach
głównych centralnych będziemy korzystać z równania prostej przez dwa punkty:
z2 -z1
z -z1 = (y -y1)
y2 -y1
oś obojętna 1-2
1.254 +7.538
z + 7.538*10-2 = (y + 3.230*10-2) z = 0.560y - 5.730*10-2
12.477 + 3.230
ay =10.232*10-2 m, az =- 5.730*10-2 m,
-20.828x*10-4 -7.922*10-4
yN1,2 = =- 2.035*10-2 m, zN1,2 = =1.383*10-2 m.
10.232*10-2 - 5.730*10-2
oś obojętna 2-3
196
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
5.864 -1.254
z -1.254*10-2 = (y -12.477*10-2) z = - 0.282y + 4.776*10-2
- 3.855 -12.477
ay = 16.920*10-2 m, az =4.776*10-2 m,
-20.828x*10-4 -7.922*10-4
yN 2,3 = =-1.231*10-2 m, zN 2,3 = =-1.659*10-2 m.
16.920*10-2 4.776*10-2
oś obojętna 3-4
2.934 - 5.864
z - 5.864*10-2 = (y + 3.855*10-2) z = 0.560y + 8.021*10-2
- 9.091+ 3.855
ay =-14.334*10-2 m, az = 8.021*10-2 m,
-20.828x*10-4 -7.922*10-4
yN 3,4 = = 1.453*10-2 m, zN 3,4 = = - 0.988*10-2 m.
-14.334*10-2 8.021*10-2
oś obojętna 1-4
- 7.538 -2.934
z - 2.934*10-2 = (y + 9.091*10-2) z = -1.787 y -13.309*10-2
- 3.230 + 9.091
ay =- 7.448*10-2 m, az =-13.309*10-2 m,
-20.828x*10-4 -7.922*10-4
yN 4,1 = = 2.796*10-2 m, zN 4,1 = = 0.595*10-2 m.
- 7.448*10-2 -13.309*10-2
Wyznaczony rdzeń pokazuje rysunek niżej.
4
3
Z
wymiary w m
(1,2)
0.12
(1,4)
(2,3)
(3,4)
Y
2
1
0.06 0.12
197