MIMOÅšRODOWE ROZCI
GANIE 1
1. SFORMUA
OWANIE ZAGADNIENIA MIMOÅšRODOWEGO ROZCI
GANIA
Definicja: Mimośrodowe rozciąganie to taki przypadek wytrzymałościowy, w którym obciążenie
zewnętrzne redukuje się w przekroju poprzecznym pręta do wypadkowej, prostopadłej do
przekroju, zgodnie skierowanej z jego normalną zewnętrzną, ale nie leżącą na osi pręta (nie
zaczepionej w środku ciężkości przekroju)
z z
zo
M = P
zo
y
y
P y
yo
P
P
M = yo
z
x x
1.1. Naprężenie normalne Ãx ( zastosowanie zasady superpozycji )
z
z
ÃC
ÃA y ÃB
y
x
x x
y
+ +
x
+
x x
P
My z Mz
C
A
B
M
y
A
przypadek A - zginanie w płaszczyz
nie (x, z) Ã = z
x
I
y
M
z
przypadek B - zginanie w płaszczyz
nie (x, y) ÃB = y
x
I
z
P
C
przypadek C - osiowe rozciąganie à =
x
A
M M
y z
P
à = + z + y
x
A I I
y z
1.2. Bryła naprężeń
z
ÃA Ã
x x
ÃB ÃC
x x
A B C
y
x
oś obojętna
MIMOÅšRODOWE ROZCI
GANIE 2
1.3. Oś obojętna
Definicja: oÅ› obojÄ™tna to zbiór punktów, w których naprężenie Ãx osiÄ…ga wartość zerowÄ….
My Mz
P
Ãx = + z + y = 0
A Iy Iz
Pzo Pyo
P A
= - z - y ×
A I I P
y z
z y
1 = +
Iy Iz
-
-
A zo A yo
Iy
Iz
i2 = i2 =
y z
A A
y z
+ = 1
ay az
def def
i2
i2
y
z
ay = - az = -
yo zo
1.4. Własności osi obojętnej
z
0
1
P ( y , z )
o o o
P ( y , z )
a
y
1 1 1
y
a
z
0
1
oś obojętna zawsze przechodzi przez "ćwiartkę" układu współrzędnych, przeciwną do tej, w
której dziaÅ‚a siÅ‚a ( yo , zo > 0 Ò! ay , az < 0 )
zbliżaniu się punktu przyłożenia siły do środka ciężkości przekroju odpowiada oddalanie się
odpowiadającej mu osi obojętnej ( zmniejszanie się współrzędnych punktu przyłożenia siły
yo, zo odpowiada wzrost wartości współczynników ay i az , a to z kolei oznacza oddalanie się
osi obojętnej od środka ciężkości przekroju). Musi zatem istnieć takie położenie siły P,
któremu będzie odpowiadać oś obojętna o położeniu stycznym do konturu przekroju.
MIMOÅšRODOWE ROZCI
GANIE 3
1.5. Rdzeń przekroju
z
styczna 2
styczna 1
styczna 0
P0
P1
P2
rdzeń
y
przekrój
styczna 2
styczna 1
styczna 0
Dowolnej osi obojętnej stycznej do konturu przekroju musi odpowiadać jeden punkt
przyłożenia siły, któremu ta oś odpowiada (np. "styczna 1" odpowiada punktowi P1 ).
Kreśląc kolejne styczne uzyskuje się kolejne, odpowiadające im punkty przyłożenia sił Pi.
Zbiór tych punktów tworzy kontur obszary nazywanego rdzeniem przekroju.
Dowolnej osi obojętnej leżącej całkowicie poza obszarem przekroju (tzn. nie przecinającej
go) musi odpowiadać punkt przyłożenia siły leżący w obszarze rdzenia.
Położenie osi obojętnej styczne do konturu przekroju lub całkowicie poza jego obszarem
oznacza, że naprężenia w całym przekroju muszą być tego samego znaku ( skoro na osi
obojętnej wynoszą one zero, to po jednej ze stron osi muszą być dodatnie, a po drugiej
ujemne).
Definicja :
Rdzeń przekroju to miejsce geometryczne położenia punktów, w których działająca siła
powoduje powstanie w przekroju naprężeń jednakowego znaku.
1.6. Własności rdzenia przekroju
Rdzeń przekroju jest zawsze figurą wypukłą
Rdzeń przekroju nie może wychodzić poza obrys przekroju, może natomiast wychodzić
poza sam przekrój
z
y
MIMOÅšRODOWE ROZCI
GANIE 4
Obrotowi osi obojętnej wokół ustalonego punktu odpowiada przemieszczanie się punktu
przyłożenia siły po prostej
*
K
O O
z
*
y
K
y yo + zzo = 1
*
- i2 - i2
z y
O
K
y yo + zzo = 1
(1)
- i2 - i2
z y
y , z - współrzędne punktu na osi obojętnej
yo , zo - współrzędne punktu przyłożenia siły
Jeżeli y = const. oraz z = const. (ustalony jest punkt na osi, wokół którego zachodzi obrót osi) to
równanie (1) ze względu na zmienne yo i zo jest również równaniem prostej.
1.7. Maksymalne naprężenie normalne
przekrój niebezpieczny - przekrój poprzeczny pręta, w którym rozkład sił przekrojowych
N, M i Mz jest najbardziej niekorzystny z punktu widzenia wielkości naprężenia
y
normalnego
punkt niebezpieczny - punkt przekroju niebezpiecznego, w którym naprężenie normalne
jest największe; jest to zarazem punkt położony najdalej od osi obojętnej
y z
max Nn-n Mn-n Mn-n N
à = ą zN ą y
x
A I I
y z
warunek wytrzymałościowy
max
à d" R
x