Uniwersytet Zielonogórski Data 14.11.06
Instytut Budownictwa
Zakład Mechaniki Budowlanej
Ćwiczenie nr.1 z wytrzymałości materiałów.
Temat: Analiza naprężeń przy mimośrodowym rozciąganiu.
Wyznaczanie rdzenia przekroju.
Piotr Kramski
Gr. 23 A
Rok 2006/2007
CHARAKTERYSTYKA POSZCZEGÓLNYCH FIGUR SKA
ADOWYCH
1. Dwuteownik
1s
1g
h = 140mm
A = 18,3cm2
s = 66mm
Ix = 573cm4
g = 5,7mm
I = 35,2cm4
1h y
t = 8,6mm
Ixy = 0
2. Ceownik
1s
1g
h = 100mm
A = 13,5cm2
s = 50mm
Ix = 206cm4
1h
g = 6mm
I = 29,3cm4
y
t = 8,5mm
Ixy = 0
e =15,5mm
3. Trójkąt
a Å" h
2
A = = 27cm
2
a Å" h3
1h
I = = 54cm4
x
36
a3 Å" h
4
I = = 121,5cm
y
36
2
1a
- a Å" h2
I = = -40,5cm4
xy
72
ÅšRODKI CI
ŻKOŚCI POSZCZEGÓLNYCH FIGUR SKA
ADOWYCH W UKA
ADZIE OSI
X, Y [cm]
S1(x1, y1) = (14,8;7)
S2 (x2, y2 ) = (8,05;9)
S3(x3, y3) = (2;16)
ÅšRODEK CI
ŻKOŚCI CAA
EJ FIGURY
A = A1 + A2 + A3 = 18,3 +13,5 + 27 = 58,8cm2
Sx = A1 Å" y1 + A2 Å" y2 + A3 Å" y3 = 18,3Å" 7 +13,5 Å" 9 + 27 Å"16 = 681,6cm3
S = A1 Å" x1 + A2 Å" x2 + A3 Å" x3 = 18,3Å"14,8 +13,5 Å"8,05 + 27 Å" 2 = 433,515cm3
y
S
433,515
y
x0 = = = 7,373cm
A 58,8
Sx 681,6
y0 = = = 11,592cm
A 58,8
x0 , y0 = (7,373;11,592)
WSPÓA
RZ
DNE ŚRODKÓW CI
ŻKOŚCI FIGUR SKA
ADOWYCH W UKA
ADZIE
(X ,Y0 )[cm]
0
O1(14,8 - 7,373;7 -11,592) = (7,427;-4,592)
O2(8,05 - 7,373;9 -11,592) = (0,677;-2,592)
O3(2 - 7,373;16 -11,592) = (-5,373;4,408)
MOMENT BEZWA
ADNOÅšCI I MOMENT DEWIACJI W UKA
ADZIE x0 , y0
2 2 2
Ix0 = Ix1 + A1 Å" y1 + Ix2 + A2 Å" y2 + Ix3 + A3 Å" y3 =
2 2
= 573 +18,3Å"(- 4,592) + 206 +13,5 Å"(- 2,592) + 54 + 27 Å" 4,4082 = 1834,204cm4
2 2 2
Iy0 = Iy1 + A1 Å" x1 + Iy2 + A2 Å" x2 + Iy3 + A3 Å" x3 =
2
= 35,2 +18,3Å" 7,4272 + 29,3 +13,5 Å" 0,6772 +121,5 + 27 Å"(- 5,373) = 1981,0879cm4
I 0y0 = Ix1 y1 + A1 Å" x1 Å" y1 + Ix2 y2 + A2 Å" x2 Å" y2 + Ix3 y3 + A3 Å" x3 Å" y3 =
x
= 0 +18,3Å" 7,427 Å"(- 4,592)+ 0 +13,5 Å" 0,677 Å"(- 2,592)+ (- 40,5)+ 27 Å"(- 5,373)Å" 4,408 = -1327,78cm4
POA
OŻENIE GA
ÓWNYCH OSI BEZWA
ADNOÅšCI
2 Å" Ix0 y0 2 Å"(-1327,78)
tg2Ä… = - = - = -18,079
Ix0 - Iy0 1834,204 -1981,0879
Ä… = -43,417o
gł.
Ixo < Iyo
Ä… (x, II )
gł.
GA
ÓWNE CENTRALNE MOMENTY BEZWA
ADNOÅšCI
2
Ix0 + Iy0 Ix0 - Iy0
ëÅ‚ öÅ‚
2
II = Imax = + + (Ix0 y0 ) =
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
1834,204 +1981,0879 1834,204 -1981,0879
ëÅ‚ öÅ‚
= + + (-1327,78)2 = 3237,45cm4
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
Ix0 + Iy0 Ix0 - Iy0
ëÅ‚ öÅ‚
2
III = Imin = - ìÅ‚ ÷Å‚
+ (Ix0 y0 ) =
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
1834,204 +1981,0879 1834,204 -1981,0879
ëÅ‚ öÅ‚
= - ìÅ‚ ÷Å‚
+ (-1327,78)2 = 577,84cm4
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Sprawdzenie
Ix + Iy = I + I
0 0 I II
1834,204 +1981,0879 = 3237,45 + 577,84
L = P
WYZNACZENIE POA
OŻENIA OSI OBOJ
TNEJ
Ä… = 180 - Ä… = 180 - 43,417 = 136,58
gł.
Iy = III
Iz = I
I
Iz 3237,45
2
iz = = = 55,34cm2
A 58,8
Iy 577,84
iy2 = = = 9,83cm2
A 58,8
N N
N = (x0 ; y0 ) = (4,157;-11,592)
N N
yN = x0 Å" cosÄ… + y0 Å" sinÄ…
yN = 4,157 Å" cos(136,58) + (-11,592) Å" sin(136,58) = -10,99cm
N N
zN = -x0 Å" sinÄ… + y0 Å" cosÄ…
zN = -4,157 Å" sin(136,58) + (-11,592) Å" cos(136,58) = 5,56cm
2
- iz - 55,34
y0 = = = 5,03cm
yN -10,99
- iy2 - 9,83
z0 = = = -1,77cm
zN 5,56
OBLICZENIE NAPR
ŻEC
NORMALNYCH W NAROŻACH PRZEKROJU
i i
yi = x0 Å" cosÄ… + y0 Å" sinÄ…
i i
zi = -x0 Å" sinÄ… + y0 Å" cosÄ…
N N Å" zN N Å" yN
i
à = + Å" zi + Å" yi
x
A Iy0 Ix0
Punkt A
A=(10,727;-11,592)
yA = 10,727 Å" cos(136,58) + (-11,592) Å" sin(136,58) = -15,76cm
zA = -10,727 Å" sin(136,58) + (-11,592) Å" cos(136,58) = 1,04cm
700 700 Å" 5,56 700 Å" (-10,99) kN
A
à = + Å"1,04 + Å" (-15,76) = 56,36
x
58,8 577,84 3237,45 cm2
Punkt B
B=(10,727;2,41)
yB = 10,727 Å" cos(136,58) + 2,41Å" sin(136,58) = -6,13cm
zB = -10,727 Å" sin(136,58) + 2,41Å" cos(136,58) = -9,12cm
700 700 Å" 5,56 700 Å" (-10,99) kN
B
à = + Å" (-9,12) + Å" (-6,13) = -34,96
x
58,8 577,84 3237,45 cm2
Punkt C
C=(-7,373;8,41)
yC = (-7,373) Å" cos(136,58) + 8,41Å" sin(136,58) = 11,14cm
zC = -(-7,373) Å" sin(136,58) + 8,41Å" cos(136,58) = -1,04cm
700 700 Å" 5,56 700 Å" (-10,99) kN
C
à = + Å" (-1,04) + Å"11,14 = -21,57
x
58,8 577,84 3237,45 cm2
Punkt D
D=(-7,373;2,41)
yD = (-7,373) Å" cos(136,58) + 2,41Å" sin(136,58) = 7,01cm
zD = -(-7,373) Å" sin(136,58) + 2,41Å" cos(136,58) = 3,32cm
700 700 Å" 5,56 700 Å" (-10,99) kN
D
à = + Å" 3,32 + Å" 7,01 = 17,61
x
58,8 577,84 3237,45 cm2
Punkt E
E=(-0,87;-7,59)
yE = (-0,87) Å" cos(136,58) + (-7,59) Å" sin(136,58) = -4,58cm
zE = -(-0,87) Å" sin(136,58) + (-7,59) Å" cos(136,58) = 6,11cm
700 700 Å" 5,56 700 Å" (-10,99) kN
E
à = + Å" 6,11+ Å" (-4,58) = 63,94
x
58,8 577,84 3237,45 cm2
Punkt P
P=(4,127;-11,592)
yP = -10,99cm
zP = 5,56cm
700 700 Å" 5,56 700 Å" (-10,99) kN
P
à = + Å" 5,56 + Å" (-10,99) = 75,47
x
58,8 577,84 3237,45 cm2
POA
OŻENIE RDZENIA PRZEKROJU
2
iy
2
z0i = -
iz
zi y0i - =
yi
9,83 55,34
z0 A = - = -9,45cm y0 A = - = 3,51cm
1,04 -15,76
9,83 55,34
z0B = - = 1,08cm y0B = - = 9,03cm
- 9,12 - 6,13
9,83 55,34
z0C = - = 9,45cm y0C = - = -4,97cm
-1,04 11,14
9,83 55,34
z0D = - = -2,96cm y0D = - = -7,89cm
3,32 7,01
9,83 55,34
z0E = - = -1,61cm y0E = - = 12,08cm
6,11 - 4,58
9,83 55,34
z0P = - = -1,77cm y0P = - = 5,03cm
5,56 -10,99