Analiza naprężeń w paśmie
tarczowym
Przygotowali:
Anna Chomnicka
Jacek Szmagliński
" Model pasma tarczowego w programie Robot
" Porównanie naprężeń przy różnie zagęszczonych
siatkach pasma tarczowego
" Zastosowanie szeregów Fouriera do
rozwiÄ…zywania tarcz
" Pasmo tarczowe w języku C++ i programie
Mathcad
" Wyniki i wykresy
" Porównanie wyników metod MES i TSiP
" Wnioski
Pasmem tarczowym nazywamy tarczÄ™ o
nieskończonej długości.
Będziemy rozważać przypadek tarczy
nieskończonej o zadanej wysokości (b) oraz
grubości (t).
Siatka zagęszczona jednokrotnie
Siatka zagęszczona dwukrotnie
Zagęszczenie
siatki
Rodzaj
obciążenia
przęsło à = 0,45 MPa
à = 0,45 MPa
à = -2,49 MPa à = -6,29 MPa
K
podpora
Åš
à = -0,70 MPa à = -0,80 MPa
przęsło à = 0,69 MPa
à = 0,69 MPa
K
à = -2,33 MPa à = -6,20 MPa
podpora
Åš
à = -0,49 MPa à = -0,60 MPa
ĆW
Odcinkowe
Model obciążenia odcinkowego
p(x)
p1(x)
p1(x) = p*(l  c)/c
p(x)  funkcja nieciągła, spełniająca warunki Dirichleta w (-l; l).
O funkcji p(x) spełniającej warunki Dirichleta w zadanym przedziale możemy mówić, gdy
przedział ten możemy rozłożyć na skończoną liczbę przedziałów i w każdym z nich
funkcja ta jest monotoniczna i ograniczona.
p(x)  funkcja parzysta  z tego wynika, że bn=0.
Model obciążenia odcinkowego
Z parzystości funkcji p(x), otrzymujemy szereg cosinusowy:
Przy czym:
Po przekształceniu otrzymujemy:
PrzystÄ™pujemy do rozwiÄ…zania caÅ‚ek Jð :
Z funkcji trygonometrycznych, z własności o różnicy kątów otrzymujemy:
PodstawiajÄ…c do wzoru uzyskujemy:
Zauważmy, że:
Ostatecznie:
Wzór na obciążenie odcinkowe:
600
400
200
0
0 5 10 15 20 25
-200 n=1
Wartość
n=10
obciążenia p(x)
-400
n=100
-600
-800
-1000
-1200
Wartość "x"
Rozwinięcie obciążenia odcinkowego
Zajmujemy się jedynie obciążeniem u dołu tarczy p(x1).
Funkcja p(x1) jest funkcją parzystą, więc obciążenie możemy zapisać w postaci szeregu
cosinusowego:
Z rzutów na oś pionową  globalny warunek równowagi mamy:
Aby wyznaczyć funkcję naprężeń korzystamy z zasady superpozycji:
Wyznaczenie składowych funkcji naprężeń:
Zakładamy rozdzielenie zmiennych
Podstawiamy do równania biharmonicznego:
Jeżeli rozwijamy w szereg funkcję zerową, to wszystkie współczynniki są równe zero.
Przewidujemy, że:
PodstawiajÄ…c:
Otrzymujemy:
Z warunku liniowej niezależności uzyskujemy:
Możemy skorzystać z następujących zależności:
Po połączeniu poprzednich wzorów otrzymujemy:
Ostatecznie funkcja F ma postać:
StaÅ‚e An, Bn, Cn, Dn wyznaczymy z warunków brzegowych dla Ã22 i Ã12:
Nasze warunki brzegowe:
Rozwiązując układ czterech równań algebraicznych liniowych, o czterech niewiadomych mamy:
Pamiętamy, że ćn w naszym przypadku jest równe 0.
Ponieważ funkcja F jest całkowicie określona, po jej zróżniczkowaniu możemy uzyskać
naprężenia Ã11, Ã22 oraz Ã12 w każdym punkcie pasma tarczowego!!
Jednak najistotniejszym naprężeniem jest Ã11 okreÅ›lone wzorem:
Wykresy i wyniki
Wykresy i wyniki
MES TSiP
Siatka jednokrotnie Siatka dwukrotnie
zagęszczona zagęszczona
à = 0,45 MPa przęsło à = 0,45 MPa
à = -2,49 MPa K K à = -6,29 MPa
podpora
à = -0,70 MPa Ś Ś à = -0,80 MPa
à = 0,69 MPa przęsło à = 0,69 MPa
à = -2,33 MPa K K à = -6,20 MPa
podpora
à = -0,49 MPa Ś Ś à = -0,60 MPa
ĆW
Odcinkowe
1000
500
Wartość
0
n=1
obciążenia
0 10 20 30
n=10
-500
p(x)
n=100
-1000
-1500
Wartość "x"
Wnioski&
Dziękujemy za uwagę&