ROZCI
GANIE I ÅšCISKANIE
KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE
Układy statycznie wyznaczalne charakteryzują się tym, że siły wewnętrzne
występujące w poszczególnych elementach tych układów mogą być wyznaczone z
równań równowagi.
Obliczenia wytrzymałościowe elementu rozciąganego lub ściskanego wykonuje się w
celu sprawdzenia czy są spełnione warunki wytrzymałościowe
gdzie P - siła rozciągająca (ściskająca), A - pole przekroju poprzecznego elementu
rozciąganego (ściskanego), kr - naprężenie dopuszczalne przy rozciąganiu, kc -
naprężenie dopuszczalne przy ściskaniu.
Naprężenie dopuszczalne na rozciąganie i ściskanie kr i kc
gdzie Rc, Rm, Re - wytrzymałość na ściskanie i rozciąganie, n - współczynnik
bezpieczeństwa.
Często spełnienie powyższych warunków wytrzymałościowych nie wystarcza do
właściwego zaprojektowania konstrukcji. Z tego względu musi być jeszcze spełniony
warunek sztywności
Według tego warunku odkształcenie lub przemieszczenie punktów projektowanego
elementu nie powinno przekroczyć wartości odkształcenia lub przemieszczenia,
przyjętego dla danej konstrukcji jako dopuszczalne.
KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
W przypadku, kiedy liczba równań równowagi jest mniejsza od liczby sił
wewnętrznych, to konstrukcje takie są nierozwiązywalne przy zastosowaniu równań
statyki ciał doskonale sztywnych i noszą nazwę układów statycznie
niewyznaczalnych.
Do obliczenia niewiadomych sił należy wtedy uwzględnić odkształcenia i
przemieszczenia prętów. Uzyskane w ten sposób dodatkowe równania
współzależności odkształceń stanowią zależności o charakterze geometrycznym.
W celu połączenia równań równowagi z równaniami geometrycznymi należy posłużyć
się związkami fizycznymi uzależniającymi wzajemnie siły wewnętrzne i
przemieszczenia.
W przypadku materiałów liniowosprężystych związki te wynikają bezpośrednio z
prawa Hooke'a.
PRZYKA
ADY OBLICZENIOWE
Przykład 1
Pręt stalowy o średnicy d = 5 mm i długości l = 2 m jest rozciągany siłą
P = 1600 N. Obliczyć naprężenia oraz wydłużenie całkowite i względne pręta. Moduł
Younga dla stali wynosi E = 2,1 · 105 MPa.
R o z w i Ä… z a n i e.
Naprężenia normalne w poprzecznym przekroju pręta wynoszą
a wydłużenie całkowite (z prawa Hooke'a)
Przykład 2
Obliczyć wydłużenie wywołane ciężarem własnym pręta pryzmatycznego o długości
l, wykonanego z materiału o ciężarze właściwym ł i module Younga E.
R o z w i Ä… z a n i e .
Wytnijmy z pręta odcinek o długości dx oddalony o x od górnego końca pręta.
Odcinek ten jest rozciągany siłą równą ciężarowi pręta o długości l - x, a więc
Q = S (l - x) Å‚
Wydłużenie odcinka dx wynosi (z prawa Hooke'a)
Całkowite wydłużenie pręta jest równe
Wydłużenie to jest równe wydłużeniu wywołanemu siłą równą ciężarowi pręta,
przyłożoną w środku ciężkości pręta.
Przykład 3
Doskonale sztywna belka AC = 3l = 5 m jest zamocowana jednym końcem A na stałej
podporze przegubowej i ciÄ™gnie BD. CiÄ™gno tworzy z osiÄ… belki kÄ…t Ä… = 30º.
Obciążenie belki stanowi pionowa siła P = 20 kN, przyłożona w punkcie C. Obliczyć
przekrój poprzeczny cięgna, jeżeli naprężenie dopuszczalne na rozciąganie wynosi
kr = 100 MPa.
R o z w i Ä… z a n i e.
Belka jest obciążona siłą P i reakcjami RA i N. Niewiadomą reakcję N w cięgnie
wyznacza się z równania momentów względem punktu A
StÄ…d
Naprężenia normalne w cięgnie nie mogą przekroczyć naprężeń dopuszczalnych na
rozciÄ…ganie
Zatem wartość przekroju poprzecznego cięgna wynosi
6P
Przykład 4
Pręt ACE o dwóch różnych średnicach, utwierdzony w punkcie A, jest obciążony w
przekrojach B i D siłami 5P = 500 kN i P = 100 kN. Przekrój poprzeczny części pręta
AC = 2l = 1 m jest równy 2A = 4 · 10-3 m2, a części CE = 2l = 1 m wynosi A = 2 · 10-3 m2.
Pręt jest wykonany ze stali, dla której współczynnik sprężystości wzdłużnej wynosi E
= 2,1 · 105 MPa i granica plastycznoÅ›ci Re = 220 MPa. Obliczyć współczynnik
bezpieczeństwa n odniesiony do granicy plastyczności.
R o z w i Ä… z a n i e.
Reakcja w miejscu utwierdzenia pręta jest równa
Badając równowagę myślowo odciętych części pręta, otrzymuje się
Biorąc pod uwagę wartości tych sił obliczono naprężenia normalne
Współczynnik bezpieczeństwa, z jakim pracuje pręt, oblicza się ze wzoru