ÿþA d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
9 . O S I O W E R O Z C I G A N I E I ZC I S K A N I E
9 . 1 . N a p r |e n i a i o d k s z t a Bc e n i a
O s i o w e r o z c i g a n i e p r t a p r y z m a t y c z n e g o w y s t p u j e w ó w c z a s , g d y u k Ba d s i B z e w n t r z n y c h
p o j e d n e j s t r o n i e p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o p r t a r e d u k u j e s i d o w y p a d k o w e j p r o s t o p a d Be j d o
p r z e k r o j u , z a c z e p i o n e j w j e g o [r o d k u c i |k o [c i i s k i e r o w a n e j z g o d n i e z n o r m a l n z e w n t r z n .
W y p a d k o w t N n a z y w a m y s i B o s i o w l u b p o d Bu |n i w p r z y p a d k u g d y j e j z w r o t j e s t
z g o d n y z e z w r o t e m n o r m a l n e j z e w n t r z n e j n a z y w a m y s i B r o z c i g a j c a j e j w s p ó Br z d n e j N
p r z y p i s u j e m y z n a k d o d a t n i . N a s z y m z a d a n i e m b d z i e w y z n a c z e n i e e l e m e n t ó w m a c i e r z y
n a p r |e D i o d k s z t a Bc e D w d o w o l n y m p u n k c i e p r t a , b o t e w i e l k o [c i o k r e [l a j w n i m s t a n
n a p r |e n i a i o d k s z t a Bc e n i a o r a z w s p ó Br z d n y c h w e k t o r a p r z e m i e s z c z e n i a .
R o z w a |m y w i c , p o k a z a n y n a r y s . 9 . 1 p r t p r y z m a t y c z n y o p o l u p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o A ,
o k r e [l o n y w u k Ba d z i e o s i ( X , Y , Z ) , w k t ó r y m o [ X j e s t o s i p r t a , a o s i e ( Y , Z ) s o s i a m i
c e n t r a l n y m i j e g o p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o . P r t w y k o n a n y j e s t z i z o t r o p o w e g o , j e d n o r o d n e g o ,
l i n i o w o s p r |y s t e g o m a t e r i a Bu o s t a By c h m a t e r i a Bo w y c h E o r a z ½.
Z v ( 1 , 0 , 0 )
Z
Y
Ä
Y x z
Ä
x y
Ã
x
X
X
N N N
I I
I I
A A
x x
R y s . 9 . 1
D o k o n a j m y m y [l o w e g o p r z e k r o j u p r t a n a d w i e c z [c i , o d r z u m y c z [ I I a d o c z [c i I
p r z y Bó |m y u k Ba d s i B w e w n t r z n y c h , k t ó r y s y m b o l i c z n i e z a z n a c z y m y p r z e z j e g o m i a r y t z n .
n a p r |e n i a à , Ä , Ä z a c z e p i o n e w d o w o l n i e w y b r a n y m p u n k c i e p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o .
x x y x z
Z t w i e r d z e n i e o r ó w n o w a |n o [c i o d p o w i e d n i c h u k Ba d ó w s i B w e w n t r z n y c h i z e w n t r z n y c h
w y n i k a , |e :
{ W I } = S x { Z I I } , S { W I } = S { Z } , S z { W I } = S z { Z } ,
ñø
x y y I I I I
ôøS
( 9 . 1 )
òø
{ W I } { } , { W I } { } , { W I } { } ,
ôøM 0 x = M 0 x Z I I M 0 y = M 0 y Z I I M 0 z = M 0 z Z I I
óø
r z u t y s u m i m o m e n t ó w z r e d u k o w a n e g o u k Ba d u s i B w e w n t r z n y c h p r z y Bo |o n y c h d o c z [c i I
o r a z u k Ba d u s i B z e w n t r z n y c h p r z y Bo |o n y c h d o c z [c i I I , s s o b i e r ó w n e .
Z g o d n i e z p o w y |s z y m m o |e m y w r o z w a |a n y m p r z y p a d k u n a p i s a p o n i |s z e z w i z k i :
7 1
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
ñø
à d A = N , Ä d A = 0 , Ä d A = 0 ,
x x y x z
+"+" +"+" +"+"
ôø
ôø
A A A
( 9 . 2 )
òø
( - Ä z + Ä y ) d A = 0 , Ã z d A = 0 , Ã y d A = 0 .
ôø
x y x z x x
+"+" +"+" +"+"-
ôø
óø A A A
R ó w n a n i a ( 9 . 2 ) m o |e m y n a z w a r ó w n a n i a m i r ó w n o w a g i , g d y | w y n i k a j z t w i e r d z e n i a o
r ó w n o w a |n o [c i u k Ba d ó w s i B w e w n t r z n y c h i z e w n t r z n y c h u d o w o d n i o n e g o n a p o d s t a w i e
w a r u n k ó w r ó w n o w a g i u k Ba d u s i B d z i a Ba j c y c h n a c i a Bo .
Z r ó w n a D ( 9 . 2 ) n i e m o |n a w y z n a c z y à , Ä , Ä , g d y | t o f u n k c j e t r z e c h z m i e n n y c h i a b y j e
x x y x z
o k r e [l i , z a j m i e m y s i a n a l i z d e f o r m a c j i b r y By p o p r z y Bo |e n i u o b c i |e D. W o p a r c i u o
p r z y j t e z a Bo |e n i a o d n o [n i e m a t e r i a Bu , j a k i h i p o t e z p Ba s k i c h p r z e k r o j ó w B e r n o u l l i e g o
p r z y j m i e m y , |e o b r a z d e f o r m a c j i p r t a p o p r z y Bo |e n i u o b c i |e D j e s t t a k i j a k t o p o k a z u j e r y s .
9 . 2 .
Z
k o n f i g u r a c j a
Y
b
p o c z t k o w a
k o n f i g u r a c j a
b 1
a k t u a l n a
B
A
A
B
D
C
X
D
C
h 1
h
l "l
l 1
R y s . 9 . 2
A n a l i z u j c t e n o b r a z d e f o r m a c j i p r t a p o p r z y Bo |e n i u o b c i |e D p r z y j m i e m y , |e :
" p o l e p r z e m i e s z c z e D j e s t w n i m j e d n o r o d n e ,
" o d k s z t a Bc e n i a k t o w e w Bó k i e n r ó w n o l e g By c h d o o s i u k Ba d u o d n i e s i e n i a s r ó w n e z e r o ,
" o d k s z t a Bc e n i a l i n i o w e z w i z a n e s z a l e |n o [c i : µ = µ = - ½ µ .
y z x
P o w y |s z e o b s e r w a c j e p o z w a l a j n a p i s a n a s t p u j c e z a l e |n o [c i :
" l l 1 - l " b b 1 - b " h h 1 - h
µ = = , µ = = , µ = = ,
x y z
l l b b h h
³ = 0 , ³ = 0 , ³ = 0 .
x y y z z x
N a z w i e m y j e r ó w n a n i a m i g e o m e t r y c z n y m i g d y | s w y n i k i e m a n a l i z y g e o m e t r i i p r t a p o
d e f o r m a c j i .
M a j c o d k s z t a Bc e n i a m o |e m y , k o r z y s t a j c z r ó w n a D f i z y c z n y c h H o o k e a , w y z n a c z y
e l e m e n t y m a c i e r z y n a p r |e D:
7 2
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
E îø ½
à = ( µ + µ + µ ) ùø ’! à = E µ ,
x ïøµ + x y z úø x x
x
1 + ½ 1 - 2 ½
ðø ûø
E îø ½
à = ( µ + µ + µ ) ùø ’! à = 0 ,
y ïøµ + x y z úø y
y
1 + ½ 1 - 2 ½
ðø ûø
E îø ½
à = ( µ + µ + µ ) ùø ’! à = 0 ,
z ïøµ + x y z úø z
z
1 + ½ 1 - 2 ½
ðø ûø
Ä = G ³ ’! Ä = 0 ; Ä = G ³ ’! Ä = 0 ; Ä = G ³ ’! Ä = 0 .
x y x y x y y z y z y z z x z x z x
N a l e |y t e r a z w r ó c i d o r ó w n a D r ó w n o w a g i ( 9 . 2 ) w c e l u s p r a w d z e n i a c z y o t r z y m a n e w
o p a r c i u o p r z y p u s z c z o n e p o l e p r z e m i e s z c z e D n a p r |e n i a s p e Bn i a j t e o b i e k t y w n e z a l e |n o [c i i
a b y w y r a z i s i By w e w n t r z n e p o p r z e z s i By z e w n t r z n e .
Z e r o w a n i e s i n a p r |e D s t y c z n y c h p o w o d u j e , |e r ó w n a n i a d r u g i e , t r z e c i e i c z w a r t e s
s p e Bn i o n e . Z r ó w n a n i a p i e r w s z e g o o t r z y m a m y
x x
+"+"Ã d A = N ’! +"+"E µ d A = N , a p o n i e w a | p o l e o d k s z t a Bc e D j e s t j e d n o r o d n e , t o
A A
o d k s z t a Bc e n i a l i n i o w e s r ó w n e :
N
µ = , ( 9 . 3 )
x
E A
i n a p r |e n i a n o r m a l n e w y n o s z :
N
à = . ( 9 . 4 )
x
A
W s t a w i a j c p o w y |s z e d o d w ó c h o s t a t n i c h r ó w n a D r ó w n o w a g i o t r z y m u j e m y :
N
x
+"+"Ã z d A = 0 ’! +"+"z d A = 0
A
A A
N
y d A = 0
x
+"+"- Ã y d A = 0 ’! +"+"
A
A A
b o o s i e ( Y , Z ) s o s i a m i c e n t r a l n y m i i m o m e n t y s t a t y c z n e p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o l i c z o n e
w z g l d e m n i c h s r ó w n e z e r o . T a k w i c o s t a t e c z n i e m a c i e r z e n a p r |e D i o d k s z t a Bc e D p r z y
o s i o w y m r o z c i g a n i u m a j p o s t a :
N A 0 0 N E A 0 0
ëø öø ëø öø
ìø ÷ø ìø ÷ø
T Ã = 0 0 0 ÷ø , T µ = 0 - ½ N E A 0 . ( 9 . 5 )
ìø ìø ÷ø
ìø ìø
0 0 0 ÷ø 0 0 - ½ N E A ÷ø
íø øø íø øø
W p r a k t y c e i n |y n i e r s k i e j b a r d z o w a |n e j e s t o k r e [l e n i e w y d Bu |e n i a p r t a , c z y l i
p r z e m i e s z c z e n i e j e g o k o Dc a "l . J e [l i p o l e p r z e m i e s z c z e D w p r c i e j e s t j e d n o r o d n e t o Ba t w o
w y z n a c z y m y z m i a n j e g o d Bu g o [c i b e z p o t r z e b y c a Bk o w a n i a o d k s z t a Bc e D:
" l N N l
µ = = ’! " l = . ( 9 . 6 )
x
l E A E A
7 3
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
P o d o b n i e m o |e m y w y z n a c z y z m i a n y w y m i a r ó w ( z m n i e j s z e n i e ) p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o
p r t a :
N b N h
" b = - ½ o r a z " h = - ½ .
E A E A
N a k o Dc u t e j c z [c i n a s z y c h r o z w a |a D n a l e |y p o w i e d z i e , |e w y p r o w a d z o n e z a l e |n o [c i m o g
b y s t o s o w a n e , w t e j f o r m i e , z a r ó w n o d l a p r z y p a d k u r o z c i g a n i a j a k i [c i s k a n i a o s i o w e g o .
W t y m d r u g i m p r z y p a d k u w y p a d k o w a N m a z w r o t p r z e c i w n y d o n o r m a l n e j z e w n t r z n e j , a
j e j w s p ó Br z d n e j N p r z y p i s u j e m y z n a k u j e m n y . P r z y c z y m w p r z y p a d k u [c i s k a n i a , t j . g d y
N < 0 k o n i e c z n e j e s t d o d a t k o w e s p r a w d z e n i e c z y p r t j e s t w s t a n i e r ó w n o w a g i s t a t e c z n e j .
9 . 2 . A n a l i z a s t a n u n a p r |e n i a i o d k s z t a Bc e n i a
W a n a l i z o w a n y m p r z y p a d k u w y s t p u j e j e d n o o s i o w y i j e d n o r o d n y s t a n n a p r |e n i a
s c h a r a k t e r y z o w a n y j e d n y m t y l k o n a p r |e n i e m n o r m a l n y m w p r z e k r o j u p o p r z e c z n y m p r t a ,
k t ó r e j e s t r ó w n o c z e [n i e m a k s y m a l n y m n a p r |e n i e m g Bó w n y m w p r z y p a d k u r o z c i g a n i a
( r y s . 9 . 3 ) i m i n i m a l n y m w p r z y p a d k u [c i s k a n i a . P o z o s t a Be d w a n a p r |e n i a g Bó w n e s r ó w n e
z e r u a i c h k i e r u n k i t o j a k i e k o l w i e k d w a p r o s t o p a d Be d o s i e b i e i r ó w n o c z e [n i e p r o s t o p a d Be d o
Z
o s i p r t a .
Z
à = à 2
x
à = à = 0
z m i n
4 5 o
Ä = Ã 2
x
X
X
à = à à = Ã
x m a x x m a x
Ä = Ã 2
x
4 5 o
à = à = 0
z m i n
à = à 2
x
R y s . 9 . 3
E k s t r e m a l n e n a p r |e n i a s t y c z n e w y s t p u j w p r z e k r o j a c h n a c h y l o n y c h p o d k t e m 4 5 ° d o o s i
p r t a ( r y s . 9 . 3 ) i r ó w n a j s i p o Bo w i e n a p r |e D n o r m a l n y c h w p r z e k r o j u p o p r z e c z n y m . K o Bo
M o h r a d l a r o z w a |a n e g o p r z y p a d k u p o k a z a n e j e s t n a r y s . 9 . 4 .
à = à 2
v x
Ä
v
Ä = Ä = Ã 2
v m a x x
à = à = à = 0
v m i n z
à = à = Ã
v m a x x
Ã
O O 1 v
Ã
x
Ä = Ã 2
v x
à = à 2
v x
7 4
R y s . 9 . 4
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
U k Ba d ( r o z k Ba d ) s i B w e w n t r z n y c h w p r z e k r o j u p o p r z e c z n y m p r t a p o k a z u j e r y s . 9 . 5 .
Z
Y
N
X
I
à = N A
x
R y s . 9 . 5
W a r t o [c i n a p r |e D n o r m a l n y c h w t y m p r z y p a d k u n i e z a l e | o w s p ó Br z d n y c h y o r a z z w i c
m o |n a i c h r o z k Ba d , n i e t r a c c c z y t e l n o [c i , r y s o w a p Ba s k o , j a k t o z o s t a Bo p o k a z a n e n a r y s .
9 . 6 .
Z
Z
à = N A
x
à = N A
x
X
X
l u b
R y s . 9 . 6
S t a n o d k s z t a Bc e n i a j e s t t e | j e d n o r o d n y a l e t r ó j o s i o w y . O d k s z t a Bc e n i a l i n i o w e w k i e r u n k u
r ó w n o l e g By m d o o s i p r t a s m a k s y m a l n e w p r z y p a d k u r o z c i g a n i a i m i n i m a l n e w p r z y p a d k u
[c i s k a n i a . P o z o s t a Be d w a o d k s z t a Bc e n i a g Bó w n e s s o b i e r ó w n e , a i c h k i e r u n k i t o j a k i e k o l w i e k
d w a p r o s t o p a d Be d o s i e b i e i r ó w n o c z e [n i e p r o s t o p a d Be d o o s i p r t a .
9 . 3 . E n e r g i a s p r |y s t a p r t a r o z c i g a n e g o l u b [c i s k a n e g o o s i o w o
Z n a j o m o [ e l e m e n t ó w m a c i e r z e n a p r |e D i o d k s z t a Bc e D p o z w a l a n a w y z n a c z e n i e g s t o [c i
e n e r g i i s p r |y s t e j i e n e r g i i s p r |y s t e j d l a r o z w a |a n e g o p r z y p a d k u o b c i |e n i a p r t a .
P o d s t a w i e n i e z a l e |n o [c i ( 9 . 5 ) d o ( 8 . 1 8 ) d a j e :
2
1 N
ëø öø
¦ = , i s t d e n e r g i a s p r |y s t a p r t a o d Bu g o [c i l i p o l u p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o A
ìø ÷ø
2 E A
íø øø
r o z c i g a n e g o ( [c i s k a n e g o ) o s i o w o s t a B s i B o w a r t o [c i N w y n o s i :
2 2
l l
2 2
1 N 1 N N N l
ëø öø ëø öø
U = ¦ d V = d V = d A = d x = .
ìø ÷ø ìø ÷ø
+"+"+" +"+"+" +"d x +"+" +"
2 E A 2 E A 2 E A 2 E A
íø øø íø øø
V V 0 A 0
7 5
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
W p r z y p a d k u k o n s t r u k c j i z Bo |o n e j z w i e l u p r t ó w o r ó |n y c h d Bu g o [c i a c h o r a z p r z e k r o j a c h
p o p r z e c z n y c h o b c i |o n y c h o s i o w o s i Ba m i p o d Bu |n y m i j e j e n e r g i a s p r |y s t a w y n o s i :
l i
n
N i 2
U = d x , ( 9 . 7 )
"
+"
2 E A i
i = 1
0
g d z i e s u m o w a n i e n a l e |y w y k o n a p o w s z y s t k i c h p r z e d z i a Ba c h c h a r a k t e r y s t y c z n y c h .
9 . 4 . Z a s a d a d e S a i n t - V e n a n t a
W n i o s k i m ó w i c e o j e d n o r o d n o [c i r o z k Ba d u n a p r |e D c z y o d k s z t a Bc e D w p r c i e r o z c i g a n y m
o s i o w o m o g b u d z i p e w n e z a s t r z e |e n i a , j e [l i p o p a t r z y m y n a r ó |n e , w y s t p u j c e w p r a k t y c e
i n |y n i e r s k i e j , p r z y p a d k i o b c i |e D, k t ó r e r e d u k u j s i d o s i By r o z c i g a j c e j N z a c z e p i o n e j w
[r o d k u c i |k o [c i p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o . M o |n a p r z y p u s z c z a , |e s p o s ó b p r z y Bo |e n i a
o b c i |e n i a b d z i e m i a B w p By w n a r o z k Ba d n a p r |e D i o d k s z t a Bc e D. I t a k i s t o t n i e j e s t , a l e t y l k o
w b l i s k i m s s i e d z t w i e o b s z a r u p r z y Bo |e n i a o b c i |e n i a . M ó w i o t y m z a s a d a d e S a i n t - V e n a n t a ,
k t ó r a j e s t j e d n y m z n a s z y c h p o d s t a w o w y c h z a Bo |e D i k t ó r p o t w i e r d z a j b a d a n i a
d o [w i a d c z a l n e ( s z c z e g ó l n i e w y r a zn i e b a d a n i a e l a s t o o p t y c z n e ) . Z a s a d t m o |n a s f o r m u Bo w a
n a s t p u j c o :
j e |e l i n a p e w i e n n i e w i e l k i o b s z a r c i a Ba w r ó w n o w a d z e d z i a Ba j r o z m a i c i e r o z m i e s z c z o n e ,
a l e s t a t y c z n i e r ó w n o w a |n e o b c i |e n i a , t o w o d l e g Bo [c i z n a c z n i e p r z e k r a c z a j c e j
w y m i a r y t e g o o b s z a r u w y w o Bu j o n e p r a k t y c z n i e j e d n a k o w e s t a n y n a p r |e n i a i
o d k s z t a Bc e n i a ( r y s . 9 . 7 ) .
N / A
N / A
N / A
N
N N / A
9 . 5 . S p i t r z e n i e n a p r |e D
R o z k Ba d n a p r |e D n o r m a l n y c h w p r z e k r o j u p o p r z e c z n y m r o z c i g a n e g o p r t a p r y z m a t y c z n e g o
j e s t r ó w n o m i e r n y . W p r z y p a d k u r o z c i g a n y c h p r t ó w o z m i e n n y m p r z e k r o j u p o p r z e c z n y m
n a p r |e n i a n o r m a l n e n i e m a j s t a By c h w a r t o [c i .
R o z w i z a n i e m e t o d a m i t e o r i i s p r |y s t o [c i z a g a d n i e n i e
r o z c i g a n e g o p r t a w k s z t a Bc i e k l i n a ( r y s . 9 . 8 ) p o k a z u j e z m i e n n o [
n a p r |e D n o r m a l n y c h i d o d a t k o w o w y s t p o w a n i e n a p r |e D
Ã
m a x
s t y c z n y c h . W a r t o [ n a p r |e n i a m a k s y m a l n e g o à w s t o s u n k u
m a x
±
±
±
±
d o w a r t o [c i n a p r |e n i a n o m i n a l n e g o à = N A w z r a s t a w r a z z
n
k t e m ± . P r z y ± = 1 0 o n a p r |e n i e m a k s y m a l n e j e s t o 1 . 3 %
w i k s z e o d n o m i n a l n e g o , a p r z y ± = 3 0 o j e s t j u | w i k s z e o 1 3 % c o
N
d o w o d z i , |e g d y p r z e k r ó j z m i e n i a s i Ba g o d n i e , t o z d o s t a t e c z n
R y s . 9 . 8
d o k Ba d n o [c i w o b l i c z e n i a c h m o |n a s t o s o w a w z o r y j a k d l a
p r t ó w p r y z m a t y c z n y c h .
7 6
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
W p r z y p a d k u g w a Bt o w n e j z m i a n y k s z t a Bt u l o k a l n y w z r o s t n a p r |e n i a m o |e b y z n a c z n y . W
p o k a z a n y m n a r y s . 9 . 9 r o z c i g a n y m p Ba s k o w n i k u z o t w o r e m w j e g o p o b l i |u w y s t p u j e d u |y
w z r o s t n a p r |e D, n a z y w a n y s p i t r z e n i e m l u b k o n c e n t r a c j n a p r |e D. S z c z e g ó l n i e d u |a
k o n c e n t r a c j a n a p r |e D w y s t p u j e w p r z y p a d k u o s t r y c h n a c i ( r y s . 9 . 1 0 ) i w ó w c z a s m ó w i m y
o e f e k c i e k a r b u , k t ó r y m o |e p r o w a d z i d o p o w s t a n i a p k n i c i a , a n a s t p n i e d o z n i s z c z e n i a
e l e m e n t u . A n a l i z p r o p a g a c j i s z c z e l i n z a j m u j e s i m e c h a n i k a p k a n i a , k t ó r a o b e c n i e z e
w z g l d u n a w a |n o [ i z Bo |o n o [ p r o b l e m ó w , z k t ó r y m i m a d o c z y n i e n i a s t a n o w i
a u t o n o m i c z n y p r z e d m i o t m e c h a n i k i .
N
N
Ã
Ã
m a x
m a x
Ã
n
Ã
n
N N
R y s . 9 . 1 0
R y s . 9 . 9
9 . 6 . P o d s t a w o w e d a n e d o [w i a d c z a l n e . S t a t y c z n a p r ó b a r o z c i g a n i a
W d o t y c h c z a s o w y c h n a s z y c h r o z w a |a n i a c h z e t k n l i [m y s i j u | z t a k i m i w i e l k o [c i a m i , j a k
m o d u B Y o u n g a i w s p ó Bc z y n n i k P o i s s o n a . S o n e c h a r a k t e r y s t y c z n e d l a d a n e g o m a t e r i a Bu i
n a z w a l i [m y j e o g ó l n i e s t a By m i m a t e r i a Bo w y m i . W s p o m n i e l i [m y r ó w n i e |, |e d l a k a |d e g o
m a t e r i a Bu i s t n i e j p e w n e c h a r a k t e r y z u j c e g o w i e l k o [c i s i B m i d z y c z s t e c z k o w y c h , p o
p r z e k r o c z e n i u k t ó r y c h t r a c i o n s w o j s p ó j n o [ ( n i s z c z y s i ) . T e j a k i i n n e j e s z c z e w i e l k o [c i
o k r e [l a j c e w Ba s n o [c i m e c h a n i c z n e m a t e r i a Bu , m o g b y w y z n a c z o n e j e d y n i e n a d r o d z e
d o [w i a d c z a l n e j . S p o s ó b i w a r u n k i p r z e p r o w a d z a n i a o d p o w i e d n i c h b a d a D l a b o r a t o r y j n y c h s
o k r e [l o n e b a r d z o p r e c y z y j n y m i p r z e p i s a m i , p o d a n y m i w P o l s k i c h N o r m a c h .
J e d n y m z p o d s t a w o w y c h b a d a D j e s t s t a t y c z n a p r ó b a r o z c i g a n i a , g d y |, j a k w |a d n y m i n n y m
d o [w i a d c z e n i u , s t a t y c z n e i k i n e m a t y c z n e w a r u n k i b r z e g o w e j a k i m p o d l e g a b a d a n a p r ó b k a s
n a j b l i |s z e t y m , k t ó r e z a k Ba d a n e s w m o d e l u t e o r e t y c z n y m .
R e a l i z o w a n e w p r ó b c e s t a n y n a p r |e n i a i o d k s z t a Bc e n i a r e p r e z e n t o w a n e s p r z e z d w i e
w i e l k o [c i : n a p r |e n i a n o r m a l n e à w p r z e k r o j u p o p r z e c z n y m b a d a n e j p r ó b k i o r a z
o d k s z t a Bc e n i a l i n i o w e µ w k i e r u n k i j e j o s i . O b i e t e w i e l k o [c i m o |n a w y z n a c z y z p r o s t y c h
p o m i a r ó w p o d c z a s b a d a n i a i , c o w i c e j , z w i z e k m i d z y n i m i à = E µ z a w i e r a s t a B
m a t e r i a Bo w j a k j e s t m o d u B Y o u n g a E .
D a l e j p r z e d s t a w i m y n a j w a |n i e j s z e w y n i k i p r ó b y r o z c i g a n i a s t a l i , w y k o n a n e j w s p o s ó b
o k r e [l o n y n o r m P N - 7 6 / H - 0 4 3 1 0 . D l a i n n y c h m a t e r i a Bó w p o w s z e c h n i e s t o s o w a n y c h w
k o n s t r u k c j a c h b u d o w l a n y c h ( b e t o n c z y d r e w n o ) o b o w i z u j i n n e n o r m y a l e z u w a g i n a
p r z y j t e z a Bo |e n i a o w Ba s n o [c i a c h a n a l i z o w a n y c h p r z e z n a s k o n s t r u k c j i s t a l j e s t m o d e l o w y m
m a t e r i a Be m i d l a t e g o n i s i p r z e d e w s z y s t k i m z a j m i e m y .
W y k o n a n e z g o d n i e z p o d a n n o r m p r ó b k i ( z w y k l e o p r z e k r o j u k o Bo w y m ) s t a l i r o z c i g a n e s
o s i o w o w m a s z y n a c h w y t r z y m a Bo [c i o w y c h n a j c z [c i e j a | d o z n i s z c z e n i a p r ó b k i . P o d c z a s
p r ó b y r e j e s t r o w a n e s z m i a n y w i e l k o [c i s i By r o z c i g a j c e j i w y m i a r ó w p r ó b k i , d z i k i c z e m u
7 7
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
m o |n a s p o r z d z i t z w . w y k r e s r o z c i g a n i a w u k Ba d z i e à - µ . W y k r e s r o z c i g a n i a s t a l i
m i k k i e j p o k a z u j e r y s . 9 . 1 1 .
N a o s i o d c i t y c h m a m y o d k s z t a Bc e n i e l i n i o w e
Ã
w Bó k i e n r ó w n o l e g By c h d o o s i p r t a ,
n a p r |e n i a H
G
w y z n a c z a n e z e w z o r u
r z e c z y w i s t e
" l
µ = g d z i e : L 0 - p i e r w o t n a d Bu g o [
L 0
R m
o d c i n k a p r ó b k i ( d Bu g o [ p o m i a r o w a ) , k t ó r e g o
F
C
R e
w y d Bu |e n i a " l s r e j e s t r o w a n e .
B D
R S
N a o s i r z d n y c h w y s t p u j n a p r |e n i a
R H A
n o r m a l n e w p r z e k r o j u p o p r z e c z n y m p r t a ,
w y z n a c z a n e z e w z o r u :
N
µ
à = , g d z i e : N - s i Ba r o z c i g a j c a p r ó b k ,
±
A 0
O
r e j e s t r o w a n p o d c z a s b a d a n i a , A 0 - p o l e
R y s . 9 . 1 1
p i e r w o t n e g o p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o p r ó b k i . .
P o n i e w a | p o d c z a s w y k o n y w a n i a p r ó b y p o l e p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o p r ó b k i m a l e j e , t o t e
n a p r |e n i a s w i e l k o [c i a m i u m o w n y m i .
O m ó w i m y k r ó t k o p o s z c z e g ó l n e c h a r a k t e r y s t y c z n e c z [c i w y k r e s u r o z c i g a n i a . N a
p r o s t o l i n i o w y m o d c i n k u O A o d k s z t a Bc e n i a s l i n i o w o z a l e |n e o d n a p r |e D i z n i k a j p o
z d j c i u o b c i |e n i a . T a k w i c w Ba s n o [c i m a t e r i a Bu s l i n i o w o s p r |y s t e i n a j w i k s z e
n a p r |e n i e , p r z y k t ó r y m t e w Ba s n o [c i j e s z c z e w y s t p u j R H , n a z y w a m y g r a n i c
p r o p o r c j o n a l n o [c i a l b o g r a n i c s t o s o w a n i a p r a w a H o o k e a . N a k r z y w o l i n i o w y m o d c i n k u A B ,
k o Dc z c y m s i n a p r |e n i e m R S , m a t e r i a B j e s t j e s z c z e s p r |y s t y a l e z a l e |n o [ m i d z y
n a p r |e n i a m i i o d k s z t a Bc e n i a m i j e s t n i e l i n i o w a . R S n a z y w a m y g r a n i c s p r |y s t o [c i , p o j e j
p r z e k r o c z e n i u w m a t e r i a l e z a c z y n a j w y s t p o w a t r w a Be ( p l a s t y c z n e ) o d k s z t a Bc e n i a . W
p u n k c i e C w y k r e s u , k t ó r e m u o d p o w i a d a j n a p r |e n i a R e , w p r ó b c e n a r a s t a j z n a c z n e
o d k s z t a Bc e n i a : 1 0 d o 1 5 r a z y w i k s z e n i | p r z y g r a n i c y s p r |y s t o [c i , p r z y s t a By c h a n a w e t
m a l e j c y c h n a p r |e n i a c h . Z j a w i s k o t o n a z y w a m y p By n i c i e m m a t e r i a Bu ( c z [ C D o k r e [l a n a
j e s t j a k o p l a t f o r m a p By n i c i a ) , a n a p r |e n i e R e - w y r a zn g r a n i c p l a s t y c z n o [c i . P By n i c i e
m a t e r i a Bu k o Dc z y s i w p u n k c i e D , w k t ó r y m z m i e n i a s i c h a r a k t e r w y k r e s u . P r z y r o s t
o d k s z t a Bc e D w y m a g a p r z y r o s t u n a p r |e D, m a t e r i a B s i w z m o c n i B i s y t u a c j a t a k a t r w a a | d o
p u n k t u F , k t ó r e m u o d p o w i a d a n a j w i k s z a s i Ba u z y s k a n a w c z a s i e p r ó b y . N a p r |e n i a
o d p o w i a d a j c e t e m u p u n k t o w i R m , n a z y w a m y w y t r z y m a Bo [c i n a r o z c i g a n i e . W m o m e n c i e
b a d a n i a , k t ó r e m u o d p o w i a d a n a w y k r e s i e r o z c i g a n i a p u n k t F , w p r ó b c e t w o r z y s i
p r z e w |e n i e , t z w . s z y j k a i p r a w i e n a t y c h m i a s t p r ó b k a w t y m m i e j s c u u l e g a z e r w a n i u .
P o d c z a s p r ó b y r o z c i g a n i a p r ó c z w y z n a c z e n i a w y |e j o p i s a n y c h g r a n i c z n y c h w a r t o [c i
n a p r |e D m o |e m y w y z n a c z y m o d u B Y o u n g a i l i c z b P o i s s o n a . M o d u B Y o u n g a t o n i c i n n e g o
j a k t a n g e n s k t a n a c h y l e n i a l i n i o w e j c z [c i w y k r e s u r o z c i g a n i a :
Ã
E = = t g ± .
µ
R e j e s t r u j c z m i a n [r e d n i c y p r ó b k i " d p o d c z a s p r ó b y m o |e m y w y z n a c z y o d k s z t a Bc e n i a
l i n i o w e w k i e r u n k u p o p r z e c z n y m d o o s i p r t a :
7 8
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
" d
µ = , g d z i e : d 0 - p i e r w o t n a [r e d n i c a p r ó b k i .
p o p
d 0
L i c z b P o i s s o n a o t r z y m u j e m y d z i e l c o d k s z t a Bc e D l i n i o w e w k i e r u n k u p o p r z e c z n y m p r z e z
o d k s z t a Bc e n i a l i n i o w e w k i e r u n k u r ó w n o l e g By m d o o s i p r ó b k i :
µ
p o p
½ = .
µ
W y |e j w s p o m n i a n o , |e n a p r |e n i a n a w y k r e s i e r o z c i g a n i a s n a p r |e n i a m i u m o w n y m i ,
g d y | o t r z y m a n e z o s t a By p r z e z p o d z i e l e n i e s i By r o z c i g a j c e j p r z e z p o c z t k o w e p o l e p r z e k r o j u
p o p r z e c z n e g o . N a p r |e n i a m i r z e c z y w i s t y m i n a z y w a b d z i e m y i l o r a z s i By p r z e z a k t u a l n e
p o l e p o w i e r z c h n i p r z e k r o j u . W p o c z t k o w y m s t a d i u m p r ó b y r o z c i g a n i a m i d z y t y m i d w o m a
n a p r |e n i a m i n i e m a i s t o t n y c h r ó |n i c , p o j a w i a j s i o n e d o p i e r o p o d k o n i e c p l a t f o r m y
p By n i c i a . P r z e b i e g z m i a n n a p r |e D r z e c z y w i s t y c h n a r y s . 9 . 1 1 p o k a z a n y z o s t a B l i n i
p r z e r y w a n .
W y k r e s r o z c i g a n i a n a r y s . 9 . 1 1 p o k a z u j e c e c h y i z a c h o w a n i e s i s t a l i m i k k i e j n a z y w a n e j t e |
s t a l n i s k o w g l o w b o z a w a r t o [ w g l a w j e j s k Ba d z i e n i e p r z e k r a c z a 0 . 3 0 % . S t a l o t a k i e j
c h a r a k t e r y s t y c e j e s t p o w s z e c h n i e s t o s o w a n a w b u d o w l a n y c h k o n s t r u k c j a c h s t a l o w y c h .
N a r y s . 9 . 1 2 n a s z k i c o w a n e z o s t a By w y k r e s y r o z c i g a n i a i n n y c h m e t a l i .
W i d o c z n y j e s t b r a k w p e w n y c h m a t e r i a Ba c h
Ã
M P a
w y r a zn e j g r a n i c y p l a s t y c z n o [c i R e . W t a k i c h
p r z y p a d k a c h p o s Bu g u j e m y s i u m o w n
g r a n i c p l a s t y c z n o [c i o z n a c z a n p r z e z R 0 . 2 i
d e f i n i o w a n j a k o n a p r |e n i e , p r z y k t ó r y m
s t a l t w a r d a
t r w a Be o d k s z t a Bc e n i a l i n i o w e w y n o s z 0 . 2 % .
W p r z y p a d k u s t a t y c z n e j p r ó b y [c i s k a n i a
8 0 0
( s p o s ó b j e j w y k o n a n i a w p r z y p a d k u m e t a l i
m o |n a z n a l e z w n o r m i e P N - 5 7 / H - 0 4 3 2 0 ) w
z a k r e s i e n a p r |e D p o n i |e j g r a n i c y
s t a l m i k k a
p l a s t y c z n o [c i c h a r a k t e r w y k r e s u [c i s k a n i a w
4 0 0
u k Ba d z i e à - µ n i e o d b i e g a o d w y k r e s u
m i e d z
r o z c i g a n i a . S t a l m i k k a , a l u m i n i u m c z y
m i e d z m a j g r a n i c p r o p o r c j o n a l n o [c i , µ
%
s p r |y s t o [c i i p l a s t y c z n o [c i n i e o m a l
i d e n t y c z n j a k p r z y r o z c i g a n i u . P r z y
0 3 0
w i k s z y c h n a p r |e n i a c h c h a r a k t e r w y k r e s u
s i z m i e n i a i j e s t t o p o w o d o w a n e w p By w e m
R y s . 9 . 1 2
a k t u a l n e j g e o m e t r i i b a d a n e j p r ó b k i - z w i k s z a
s i p o l e j e j p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o .
7 9
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
N a w i e l k o [c i m e c h a n i c z n e m a t e r i a Bó w
n i e w t p l i w y w p By w m a j r ó |n e c z y n n i k i
Ã
M P a
z e w n t r z e , p r z y k Ba d o w o m o |n a w y m i e n i
t e m p e r a t u r , w i l g o t n o [ c z y c z a s . T o , j a k
8 0 0
z n a c z n z m i a n w i e l k o [c i m e c h a n i c z n y c h
R m
b d o n e p o w o d o w a z a l e |y m i d z y i n n y m i
o d r o d z a j u m a t e r i a Bu .
N i |e j b a r d z o p o b i e |n i e , o m ó w i o n e z o s t a n
n i e k t ó r e a s p e k t y w p By w u t e m p e r a t u r y i c z a s u
n a z a c h o w a n i e s i s t a l i .
R e
W p By w t e m p e r a t u r y n a g r a n i c p l a s t y c z n o [c i
4 0 0
R e i w y t r z y m a Bo [ n a r o z c i g a n i e R m
p o k a z u j e r y s . 9 . 1 3 .
P o d w y |s z o n a t e m p e r a t u r a a k t y w i z u j e
w Ba s n o [c i r e o l o g i c z n e s t a l i p o l e g a j c e ,
n a j p r o [c i e j m ó w i c , n a z m i a n i e d e f o r m a c j i w
o
T C
c z a s i e p r z y s t a By c h o b c i |e n i a c h . W [r ó d
z j a w i s k ( p r o c e s ó w ) r e o l o g i c z n y c h c i a B s t a By c h
2 0 0
4 0 0
z w y k l e r o z r ó |n i a s i z j a w i s k o p e Bz a n i a
o k r e [l a n e j a k o w z r o s t o d k s z t a Bc e D w c z a s i e
R y s . 9 . 1 3
p r z y s t a By c h n a p r |e n i a c h i z j a w i s k o
r e l a k s a c j i d e f i n i o w a n e j a k o s p a d e k n a p r |e D
w c z a s i e p r z y s t a By c h o d k s z t a Bc e n i a c h .
D Bu g o t r w a Ba p r ó b a r o z c i g a n i a s t a l i w p o d w y |s z o n e j t e m p e r a t u r z e t j . p r ó b a p e Bz a n i a ( w a r u n k i
i s p o s ó b j e j w y k o n a n i a p o d a n y j e s t w n o r m i e P N - 5 7 / H - 0 4 3 3 0 ) p o k a |e p r z e b i e g z m i a n
o d k s z t a Bc e D w c z a s i e p r z y s t a By m n a p r |e n i u , k t ó r y c h w y k r e s , t z w . k r z y w p e Bz a n i a
p r z e d s t a w i a r y s . 9 . 1 4 .
W y n i k i e m p r ó b y r e l a k s a c j i b y Ba b y k r z y w a r e l a k s a c j i p o k a z u j c a z m i a n n a p r |e D w c z a s i e
p r z y s t a By c h o d k s z t a Bc e n i a n a s z k i c o w a n a n a r y s . 9 . 1 5 .
µ
Ã
Ã
Ã
Ã
z n i s z c z e n i e
k r z y w a p e Bz a n i a
k r z y w a r e l a k s a c j i
à = c o n s t
µ = c o n s t
t t
R y s . 9 . 1 4
R y s . 9 . 1 5
W m e t a l a c h p r o c e s y r e o l o g i c z n e w y r a zn i e s i z a z n a c z a j p r z y t e m p e r a t u r a c h p o w y |e j
0 . 3 0 . 4 i c h t e m p e r a t u r y t o p n i e n i a .
Z j a w i s k a r e o l o g i c z n e , z w Ba s z c z a z j a w i s k o r e l a k s a c j i m a n e g a t y w n y w p By w z a z a c h o w a n i e
s i k o n s t r u k c j i . O n o j e s t p r z y c z y n s p a d k u s i B s p r |a j c y c h w k o n s t r u k c j a c h s p r |o n y c h c z y
r o z l u zn i a n i a s i p o Bc z e D [r u b o w y c h i n i t o w a n y c h .
W t a b l i c y p o n i |e j , p o d a n e s w a r t o [c i c h a r a k t e r y s t y k m e c h a n i c z n y c h i s t a By c h
m a t e r i a Bo w y c h d l a n i e k t ó r y c h m a t e r i a Bó w . P o n i e w a | w i e l k o [c i t e b a r d z o z a l e | o d s k Ba d u
c h e m i c z n e g o , o b r ó b k i c i e p l n e j , o b r ó b k i p l a s t y c z n e j j a k i i n n y c h c z y n n i k ó w ( n p . w i l g o t n o [c i
w p r z y p a d k u d r e w n a ) p o d a n e w a r t o [c i n a l e |y t r a k t o w a o r i e n t a c y j n i e , s k u p i a j c u w a g n a
8 0
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
t y m z j a k i m r z d e m w i e l k o [c i m a m y d o c z y n i e n i a . W n a w i a s a c h p o d a n a j e s t w y t r z y m a Bo [
p r z y [c i s k a n i u .
G r a n i c a W y t r z y m a Bo [ M o d u B
W y t r z y m a Bo [ n a L i c z b a G s t o [ m a s y
p l a s t y c z n o [c i o b l i c z e n i o w a Y o u n g a
M a t e r i a B P o i s s o n a
r o z c i g a n i e R m
Á
R e R r
E
½
M P a
M P a M P a
G P a
k g / m 3
S t a l
k o n s t r u k c y j n a 3 7 5 2 2 5 2 0 5 2 0 5 0 . 3 0 7 8 5 0
S t 3 S X , S t 3 S Y
A l u m i n i u m 1 0 0 5 0 7 0 0 . 3 2 - 0 . 3 6 2 0 7 0
M i e d z 2 1 0 - 2 4 0 7 0 1 1 0 0 . 3 0 - 0 . 3 4 8 9 6 0
{e l i w o s z a r e 2 0 0 - 4 0 0 9 5 - 1 1 0 0 . 2 3 - 0 . 2 7 7 1 0 0
O Bó w 1 5 1 8 0 . 4 2 1 1 3 4 0
B r z 3 0 0 1 1 3 0 . 3 2 - 0 . 3 5 8 8 6 0
D u r a l 2 7 0 1 5 0 6 7 - 7 4 0 . 3 2 - 0 . 3 5 2 6 4 0
B e t o n B 3 5 0 2 . 3 1 ( 3 6 ) 1 . 5 4 ( 2 7 . 7 ) 3 8 . 6 1 / 6 2 5 0 0
S z k Bo 4 0 - 1 0 0 5 6 0 . 2 5 2 4 0 0 - 2 6 0 0
D r e w n o - s o s n a
( w z d Bu |
1 4 - 2 6 6 5 - 1 2 . 5 6 4 0 0 - 5 0 0
w Bó k i e n )
9 . 7 . P o d s t a w o w e z a s a d y i w a r u n k i p r o j e k t o w a n i a
M a j c w y z n a c z o n e s t a n y n a p r |e n i a , o d k s z t a Bc e n i a i p r z e m i e s z c z e n i a d l a p r z y p a d k u
o s i o w e g o r o z c i g a n i a p r t ó w p r y z m a t y c z n y c h m a m y p o d s t a w y d o p r o j e k t o w a n i a t a k i c h
e l e m e n t ó w k o n s t r u k c j i i n |y n i e r s k i c h . N a t y m p r z y k Ba d z i e t e g o p r z y p a d k u o m ó w i o n e z o s t a n
p o d s t a w o w e p o j c i a i p r o c e d u r y z w i z a n e z p r o j e k t o w a n i e m p r z y b a r d z i e j z Bo |o n y c h
p r z y p a d k a c h o b c i |e n i a c z y e l e m e n t a c h k o n s t r u k c j i . B d z i e t o w w i k s z y m s t o p n i u
o m ó w i e n i e z a s a d w y m i a r o w a n i a n i | p r o j e k t o w a n i a , g d y | p r z y p r o j e k t o w a n i u o p r ó c z z a s a d
w y m i a r o w a n i a n i e z b d n a j e s t z n a j o m o [ p r z e p i s ó w z w a n y c h n o r m a m i b u d o w l a n y m i , k t ó r e
b d s z c z e g ó Bo w o o m a w i a n e w p r z e d m i o t a c h k o n s t r u k c y j n y c h j a k k o n s t r u k c j e s t a l o w e ,
b e t o n o w e , |e l b e t o w e c z y d r e w n i a n e .
B d z i e t o r a c z e j o m ó w i e n i e z a s a d w y m i a r o w a n i a n i | p r o j e k t o w a n i a , g d y | p r z y p r o j e k t o w a n i u
o p r ó c z z a s a d w y m i a r o w a n i a n i e z b d n a j e s t z n a j o m o [ p r z e p i s ó w z w a n y c h n o r m a m i
b u d o w l a n y m i , k t ó r e b d s z c z e g ó Bo w o o m a w i a n e w p r z e d m i o t a c h k o n s t r u k c y j n y c h j a k
k o n s t r u k c j e s t a l o w e , b e t o n o w e , |e l b e t o w e c z y d r e w n i a n e .
Z o b a c z y m y p ó zn i e j , w t r a k c i e s t u d i o w a n i a w y m i e n i o n y c h p r z e d m i o t ó w k o n s t r u k c y j n y c h ,
|e w w i e l u p r z y p a d k a c h , f o r m u By c z y z a l e |n o [c i p o d a n e w n o r m a c h , k t ó r e s o b o w i z u j c e w
p r o c e s i e p r o j e k t o w a n i a b d d o [ o d l e g Be o d z a s a d w y m i a r o w a n i a p o d a n y c h w t y m j a k i
i n n y c h p o d r c z n i k a c h w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w . P r z y c z y n t e g o s t a n u m o |n a p r z e d e
w s z y s t k i m u p a t r y w a w t y m , |e w y t r z y m a Bo [ m a t e r i a Bó w p o s Bu g u j e s i w s w y c h
r o z w a |a n i a c h i d e a l n y m t e o r e t y c z n y m m o d e l e m m a t e r i a Bu , k o n s t r u k c j i , j a k i s c h e m a t a c h j e j
z n i s z c z e n i a , n o r m y z a [ s t a r a j s i u j w g l o b a l n y i u p r o s z c z o n y s p o s ó b n a j b a r d z i e j i s t o t n e
m e c h a n i c z n e a s p e k t y z a c h o w a n i a s i e l e m e n t ó w k o n s t r u k c j i . S t d n p . w y t r z y m a Bo [
m a t e r i a Bó w z a z w y c z a j o k r e [l a w a r u n k i d l a n a p r |e D w p u n k c i e a n o r m y f o r m u Bu j w a r u n k i
n o [n o [c i d l a p r z e k r o j u . N i e m n i e j j e d n a k n i e m a s p r z e c z n o [c i w t y c h d w ó c h p o d e j [c i a c h i c o
w i c e j z n a j o m o [ z a s a d w y m i a r o w a n i a j e s t n i e z b d n a d o z r o z u m i e n i a i r a c j o n a l n e g o
s t o s o w a n i a n o r m o w y c h z a s a d p r o j e k t o w a n i a .
J a k j u | w c z e [n i e j p o w i e d z i e l i [m y m a t e r i a B, k s z t a Bt i w y m i a r y k o n s t r u k c j i m u s z b y d o b r a n e
w t a k i s p o s ó b , a b y b y Ba o n a o d p o w i e d n i o w y t r z y m a Ba , s z t y w n a i s t a t e c z n a . J e |e l i k o n s t r u k c j a
8 1
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
l u b j e j c z [ p r z e s t a j e p r z e n o s i o b c i |e n i e , d o p r z e n i e s i e n i a k t ó r e g o z o s t a Ba p r z e z n a c z o n a
l u b t e | g d y n i e o d p o w i a d a z a Bo |o n y m w a r u n k o m u |y t k o w a n i a , m ó w i m y , |e z n a j d u j e s i w
s t a n i e g r a n i c z n y m . M o |e m y w y r ó |n i d w a s t a n y g r a n i c z n e :
" s t a n g r a n i c z n y n o [n o [c i i
" s t a n g r a n i c z n y u |y t k o w a n i a .
S t a n g r a n i c z n y n o [n o [c i z w i z a n y j e s t z w y s t p i e n i e m z n i s z c z e n i a c i g Bo [c i m a t e r i a Bu w
p u n k c i e l u b o b s z a r z e , z m i a n y k o n s t r u k c j i w m e c h a n i z m , u s z k o d z e n i e m s p o w o d o w a n y m
z m c z e n i e m m a t e r i a Bu , u t r a t s t a t e c z n o [c i p r z e z c z [ l u b c a B k o n s t r u k c j .
S t a n g r a n i c z n y u |y t k o w a n i a n a t o m i a s t z w i z a n y j e s t z w y s t p i e n i e m n a d m i e r n y c h
p r z e m i e s z c z e D, u s z k o d z e D z w i z a n y c h z k o r o z j , n a d m i e r n y c h d r g a D i t p .
W a r u n k i , k t ó r e k o n s t r u k c j a m u s i s p e Bn i , w y n i k a j c e z o b u s t a n ó w g r a n i c z n y c h f o r m u Bo w a n e
b d w p o s t a c i n i e r ó w n o [c i , w k t ó r y c h w s t a n i e g r a n i c z n y m n o [n o [c i b d z i e w y s t p o w a
p e w n a g r a n i c z n a w a r t o [ n a p r |e D, a w s t a n i e g r a n i c z n y m u |y t k o w a n i a g r a n i c z n a w a r t o [
p r z e m i e s z c z e D z w i z a n a z w a r u n k a m i u |y t k o w a n i a .
T e g r a n i c z n e w a r t o [c i n a p r |e D, w y z n a c z a n e n a p o d s t a w i e d o [w i a d c z e D ( n p . p r ó b y
r o z c i g a n i a c z y [c i s k a n i a ) i a n a l i z y p r o b a b i l i s t y c z n e j o t r z y m a n y c h z n i c h w y n i k ó w ,
g w a r a n t u j b e z p i e c z n y s t a n m a t e r i a Bu w d a n y m p u n k c i e i n a z y w a n e s j e g o w y t r z y m a Bo [c i
c h a r a k t e r y s t y c z n .
P o n i e w a | w p r o c e s i e p r o j e k t o w a n i a k o n s t r u k c j i m o g c e w y s t p i l i c z n e c z y n n i k i
p r z y p a d k o w e , z w i z a n e n p . z n i e d o k Ba d n o [c i d a n y c h o g e o m e t r i i k o n s t r u k c j i , j e j
o b c i |e n i a c h c z y b Bd a c h w y k o n a n i a , d o o b l i c z e D p r z y j m o w a n a j e s t w y t r z y m a Bo [
o b l i c z e n i o w a , b d c a i l o r a z e m w y t r z y m a Bo [c i c h a r a k t e r y s t y c z n e j i w s p ó Bc z y n n i k ó w
m a t e r i a Bo w y c h s p e Bn i a j c y c h r o l w s p ó Bc z y n n i k ó w b e z p i e c z e Ds t w a . W p r a k t y c e p r o j e k t o w e j
d o w i e m y s i , |e w y t r z y m a Bo [ o b l i c z e n i o w a j e s t z w i z a n a n i e t y l k o z s a m y m m a t e r i a Be m a l e
r ó w n i e | z r o d z a j e m k o n s t r u k c j i . P o l s k a N o r m a d o o b l i c z a n i a i p r o j e k t o w a n i a
o g ó l n o b u d o w l a n y c h k o n s t r u k c j i s t a l o w y c h P N - 9 0 / B - 0 3 2 0 0 w y r ó |n i a t y l k o j e d n
w y t r z y m a Bo [ o b l i c z e n i o w s t a l i o z n a c z a n p r z e z f d ( m o d y f i k o w a n w s p ó Bc z y n n i k a m i
l i c z b o w y m i d l a i n n y c h p r z y p a d k ó w o b c i |e n i a ) , p o d c z a s g d y n o r m a o b o w i z u j c a p r z y
p r o j e k t o w a n i u m o s t ó w P N - 8 2 / S - 1 0 0 0 5 2 w y r ó |n i a w y t r z y m a Bo [ o b l i c z e n i o w s t a l i
e l e m e n t ó w k o n s t r u k c j i m o s t o w y c h p r a c u j c y c h n a r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e o s i o w e , r o z c i g a n i e
p r z y z g i n a n i u R , n a [c i n a n i e R t , n a d o c i s k p o w i e r z c h n i p r z y l e g a j c y c h R d , n a d o c i s k
p o w i e r z c h n i s t y c z n y c h R d H . W n o r m a c h z w i z a n y c h z k o n s t r u k c j a m i b e t o n o w y m i ,
|e l b e t o w y m i , d r e w n i a n y m i i m u r o w y m i w y s t p u j j e s z c z e i n n e w i e l k o [c i .
D l a t e g o t e | w t o k u n a s z y c h d a l s z y c h r o z w a |a D, n i e u m n i e j s z a j c z a s a d n i c z o i c h o g ó l n o [c i ,
b d z i e m y s i p o s Bu g i w a j e d y n i e p o j c i a m i w y t r z y m a Bo [c i o b l i c z e n i o w e j p r z y [c i s k a n i u R c ,
p r z y r o z c i g a n i u R r i p r z y [c i n a n i u R t . W p r z y p a d k u m a t e r i a Bu i z o n o m i c z n e g o ( n p . s t a l ) i
n a p r |e D n o r m a l n y c h , u |y w a b d z i e m y j e d n e j w y t r z y m a Bo [c i o b l i c z e n i o w e j R .
W z w i z k u z p o w y |s z y m w a r u n k i w y m i a r o w a n i a p r t ó w o s i o w o r o z c i g a n y c h b d m i a By
p o s t a :
" z e w z g l d u n a s t a n g r a n i c z n y n o [n o [c i
N
m a x à = m a x d" R r
x
A
" z e w z g l d u n a s t a n g r a n i c z n y u |y t k o w a n i a
N l
m a x " l = m a x d" " l d o p .
E A
8 2
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
W p r z y p a d k u p r t ó w o s i o w o [c i s k a n y c h w m i e j s c e w y t r z y m a Bo [c i o b l i c z e n i o w e j p r z y
r o z c i g a n i u R r n a l e |y w s t a w i w y t r z y m a Bo [ o b l i c z e n i o w p r z y [c i s k a n i u R c , p r z y c z y m
m u s i m y p a m i t a , |e p r t m u s i b y w s t a n i e r ó w n o w a g i s t a t e c z n e j i w a r u n k i j e j z a p e w n i e n i a
b d s f o r m u Bo w a n e w t o k u d a l s z y c h w y k Ba d ó w .
9 . 8 . P r z y k Ba d y
P r z y k Ba d 9 . 8 . 1 . W y z n a c z y [r e d n i c e k o Bo w e g o s t a l o w e g o p r t a o s k o k o w o z m i e n n y m
p r z e k r o j u p o p r z e c z n y m o b c i |o n y m j a k n a r y s u n k u j e [l i w y t r z y m a Bo [ o b l i c z e n i o w a s t a l i
R = 1 6 5 M P a . P o o k r e [l e n i u w y m i a r ó w p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o o b l i c z y p r z e m i e s z c z e n i a
w z d Bu | o s i p r t a u ( x ) i z m i a n [r e d n i c y w p r z e k r o j u n a j w i k s z e j s i By p o d Bu |n e j , j e [l i m o d u B
Y o u n g a E = 2 0 5 G P a , a l i c z b a P o i s s o n a ½ = 0 . 3 .
R o z w i z a n i e
Zr e d n i c e w y z n a c z y m y z w a r u n k u n o [n o [c i i w p i e r w n a l e |y w y z n a c z y s i By o s i o w e w p r c i e .
J e s t t o p r o s t e z a d a n i e w a n a l i z o w a n y m p r z y k Ba d z i e i i c h r o z k Ba d p o k a z a n y j e s t n a r y s u n k u .
Zr e d n i c a n a o d c i n k u A B :
1 0 0 k N 2 0 0 k N
N N
A B A B
1 5 0 k N
d" R ’! A A B e"
u
A A B R
x
C D
2
B
d 1
A
À d 1 4 5 0 * 1 0 3
d 2
e" ’! d 1 e" 5 . 8 9 * 1 0 - 2 m
4
1 6 5 * 1 0 6
1 . 0 m 0 . 5 m 0 . 5 m
P r z y j t o d o w y k o n a n i a d 1 = 6 . 0 c m .
N ( x )
k N
Zr e d n i c a n a o d c i n k u B D :
N m a x N
B D B D
m a x d" R ’! A B D e"
A B D R
2
À d 2 3 5 0 * 1 0 3
e" ’! d 2 e" 5 . 2 0 * 1 0 - 2 m
4
1 6 5 * 1 0 6
u ( x )
m m P r z y j t o d o w y k o n a n i a d 2 = 5 . 2 c m .
P r z e m i e s z c z e n i a w z d Bu | o s i p r t a ( w y d Bu |e n i a ) u ( x ) :
x x
d u ( x ) N ( x ) d x
µ ( x ) = ’! d u ( x ) = µ ( x ) d x ’! u ( x ) = ( x ) d x ’! u ( x ) =
x x x
+"µ +"
d x E A
0 0
N
g d y N ( x ) j e s t s t a Be t o u ( x ) = x i w y d Bu |e n i e j e s t l i n i o w f u n k c j w s p ó Br z d n e j x .
E A
S t d w r o z w a |a n y m p r z y k Ba d z i e :
0 < x < 1 . 0 m
4 5 0 * 1 0 3
u ( x ) = x = 0 . 7 8 * 1 0 - 3 x
2 0 5 * 1 0 9 ( À 6 2 4 ) * 1 0 - 4
8 3
3 5 0
4 5 0
1 5 0
1 . 3 5
0 . 7 8
1 . 1 8
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
u ( 1 ) = " l A B = 0 . 7 8 * 1 0 - 3 m = 0 . 7 8 m m .
1 . 0 < x < 1 . 5 m
3 5 0 * 1 0 3
u ( x ) = " l A B + ( x - 1 ) = " l A B + 0 . 8 0 * 1 0 - 3 ( x - 1 )
2 0 5 * 1 0 9 ( À 5 . 2 2 4 ) * 1 0 - 4
u ( 1 . 5 ) = " l A C = " l A B + " l B C = ( 0 . 7 8 + 0 . 4 0 ) * 1 0 - 3 = 1 . 1 8 * 1 0 3 m = 1 . 1 8 m m
1 . 5 < x < 2 . 0 m
1 5 0 * 1 0 3
u ( x ) = " l A C + ( x - 1 . 5 ) = " l A C + 0 . 3 4 * 1 0 - 3 ( x - 1 . 5 )
2 0 5 * 1 0 9 ( À 5 . 2 2 4 ) * 1 0 - 4
u ( 2 . 0 ) = " l A D = " l A B + " l B C + " l C D = ( 0 . 7 8 + 0 . 4 0 + 0 . 1 7 ) * 1 0 - 3 = 1 . 3 5 * 1 0 3 m = 1 . 3 5 m m .
Z m i a n a w y m i a r ó w [r e d n i c y w m i e j s c u n a j w i k s z e j s i By p o d Bu |n e j w y n o s i :
N 4 5 0 * 1 0 3
A B
" d 1 = - ½ d 1 = - 0 . 3 6 * 1 0 - 2 = - 0 . 0 1 4 * 1 0 - 3 m = - 0 . 0 1 4 m m .
E A A B
2 0 5 * 1 0 9 ( À 6 2 4 ) * 1 0 - 4
W a r t o z w r ó c i u w a g j a k m a Be s w i e l k o [c i p r z e m i e s z c z e D i z m i a n y w y m i a r ó w w s t o s u n k u
d o p o c z t k o w y c h w y m i a r ó w k o n s t r u k c j i . P o t w i e r d z a t o z a s a d n o [ p r z y j c i a z a Bo |e n i a z a s a d y
z e s z t y w n i e n i a j a k i p ó zn i e j s z e z a Bo |e n i a o m a By c h o d k s z t a Bc e n i a c h .
P r z y k Ba d 9 . 8 . 2 . P r t p r y z m a t y c z n y , j a k n a
r y s u n k u , o b c i |o n y j e s t t y l k o c i |a r e m
w Ba s n y m . W y z n a c z y N ( x ) , Ã ( x ) i u ( x )
x
x
j e [l i z n a n e s j e g o : p o l e p r z e k r o j u A , c i |a r
l
o b j t o [c i o w y ³, d Bu g o [ l o r a z m o d u B
s p r |y s t o [c i p o d Bu |n e j E . O b l i c z y d Bu g o [
N ( x )
z e r w a n i a j e [l i w y t r z y m a Bo [ n a r o z c i g a n i e
w y n o s i R m .
R o z w i z a n i e
W y z n a c z e n i e s i B p o d Bu |n y c h : N ( x ) = A ( l - x ) ³ ; m a x N ( x ) = N ( 0 ) = A l ³
S i By p o d Bu |n e z m i e n i a j l i n i o w o w z d Bu | o s i p r t a i o s i g a j m a k s y m a l n w a r t o [ w
u t w i e r d z e n i u .
N ( x )
N a p r |e n i a n o r m a l n e : à ( x ) = = ( l - x ) ³ ; m a x à = à ( 0 ) = l ³
x x x
A
W a r t o [c i n a p r |e D t e | z m i e n i a j s i l i n i o w o w z d Bu | o s i p r t a , o s i g a j m a k s y m a l n w a r t o [
w u t w i e r d z e n i u i t a m a k s y m a l n a w a r t o [ n i e z a l e |y o d p o l a p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o p r t a .
P r z e m i e s z c z e n i a w z d Bu | o s i p r t a ( w y d Bu |e n i a ) u ( x ) :
x
d u ( x )
µ ( x ) = ’! d u ( x ) = µ ( x ) d x ’! u ( x ) = ( x ) d x
x x x
+"µ
d x
0
x x
à ( x )
³ ³ ³
x 2
u ( x ) = d x = ( l - x ) d x = - [ ( l - x ) 2 - l ] = ( 2 l x - x 2 )
+" +"
E E 2 E 2 E
0 0
8 4
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
2
³ l
m a x u = u ( l ) = " l =
2 E
P r z e m i e s z c z e n i a s k w a d r a t o w f u n k c j w s p ó Br z d n e j x i o s i g a j s w n a j w i k s z w a r t o [ n a
k o Dc u p r t a , p r z y c z y m w a r t o [ t a n i e z a l e |y o d p o l a p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o p r t a . W y k r e s y
p o s z u k i w a n y c h f u n k c j i p o k a z u j e r y s u n e k p o n i |e j .
à ( x )
N ( x ) u ( x )
x
l ³
A l ³
x
l
2
³ l
2 E
D Bu g o [ z e r w a n i a l R t o d Bu g o [ p r t a , o b c i |o n e g o j e d y n i e c i |a r e m w Ba s n y m , p r z y k t ó r e j
n a j w i k s z e w n i m n a p r |e n i a n o r m a l n e b d r ó w n e w y t r z y m a Bo [c i n a r o z c i g a n i e ( m o |n a
p o w i e d z i e : d Bu g o [ p r z y k t ó r e j z e r w i e s i p o d c i |a r e m w Ba s n y m ) .
Z a t e m :
R m
m a x à = R m = l R ³ ’! l R =
x
³
J a k w i d a d Bu g o [ z e r w a n i a l R j e s t s t a B m a t e r i a Bo w . P r z y k Ba d o w e w i e l k o [c i d Bu g o [c i
z e r w a n i a : d r e w n o s o s n o w e 1 3 . 5 k m , s t a l n i s k o w g l o w a 4 . 8 k m , s t a l w y s o k o w g l o w a 9 . 1 k m ,
d u r a l u m i n i u m 1 6 . 9 k m .
P r z y k Ba d 9 . 8 . 3 . N a 1 m d Bu g o [c i Ba w y f u n d a m e n t o w e j o q = 2 5 0 k N / m
p r z e k r o j u p r o s t o k t n y m b x h w y k o n a n e j z b e t o n u o
c i |a r z e o b j t o [c i o w y m ³ = 2 2 k N / m 3 p r z e k a z u j e s i
r ó w n o m i e r n i e r o z Bo |o n e o b c i |e n i e z e [c i a n y q = 2 5 0
k N / m . W y z n a c z y p o t r z e b n s z e r o k o [ f u n d a m e n t u b
h
j e [l i j e j w y s o k o [ h = 1 . 5 m , a w y t r z y m a Bo [
o b l i c z e n i o w a g r u n t u n a [c i s k a n i e , n a k t ó r y m j e s t o n
1 . 0 m
p o s a d o w i o n y w y n o s i R c , g = 0 . 2 M P a
b
R o z w i z a n i e
S i Ba p r z e k a z y w a n a z f u n d a m e n t u n a g r u n t w y n o s i :
N = q * 1 + ³ * h * b * 1
Z w a r u n k u n o [n o [c i w y n i k a :
N q * 1 + ³ * h * b * 1
d" R c , g ’! d" R c , g
b * 1 b * 1
2 5 0 * 1 0 3 + 2 2 * 1 0 3 * 1 . 5 * b
d" 0 . 2 * 1 0 6 ’! b e" 1 . 5 m .
b
P r z y k Ba d 9 . 8 . 4 . N a d p r o |e w y k o n a n e z b e l k i d w u t e o w e j 2 0 0 p r z e k a z u j e n a m u r o b c i |e n i e
w p o s t a c i s i By P = 6 0 k N . O b l i c z y p o t r z e b n d Bu g o [ o p a r c i a b e l k i p r z y j m u j c , |e
n a p r |e n i e o b l i c z e n i o w e m u r u n a [c i s k a n i e R c , m = 2 . 0 M P a .
8 5
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
P
R o z w i z a n i e
Z w a r u n k u n o [n o [c i w y n i k a :
P P 6 0 * 1 0 3
a
d" R c , m ’! a e" ’! a e" ’! a e"3 3 . 3 * 1 0 - 2 m
s * a s * R c , m
9 * 1 0 - 2 * 2 * 1 0 6
s = 9 c m
P r z y j t o d o w y k o n a n i a a = 3 5 c m .
a
W d w ó c h o s t a t n i c h p o w y |s z y c h p r z y k Ba d a c h w a r t o z a u w a |y j a k s c h e m a t o b l i c z e n i o w y ( p r t
p r y z m a t y c z n y o s i o w o o b c i |o n y ) d a l e k o o d b i e g a o d r z e c z y w i s t e j k o n s t r u k c j i .
P r z y k Ba d 9 . 8 . 5 . W y z n a c z y n a c i s k N n a 1 m d Bu g o [c i p r z y c z ó Bk a m o s t u j a k i w y w i e r a p By t a
|e l b e t o w a o g r u b o [c i h = 4 2 c m p r z y w z r o [c i e t e m p e r a t u r y "T = 2 5 ° C j e [l i m o d u B
s p r |y s t o [c i p o d Bu |n e j b e t o n u E = 3 8 . 6 G P a a w s p ó Bc z y n n i k r o z s z e r z a l n o [c i l i n i o w e j
±T = 1 0 - 5 / ° C . P By t a p r z y l e g a [c i [l e d o o b u p r z y c z ó Bk ó w .
R o z w i z a n i e
W y d Bu |e n i e r o z p i t o [c i p By t y l w p r z y p a d k u j e j s w o b o d n e g o p o d p a r c i a b y Bo b y r ó w n e
"l = ±T "T l .
S k r ó c e n i e j e j r o z p i t o [c i n a s k u t e k p r z y Bo |e n i a [c i s k a j c e j s i By w y n o s i "l = N l / E A .
P o r ó w n a n i e o b u t y c h w i e l k o [c i d a j e r ó w n o [:
N l
±T "T l = ’! N = ±T "T E h = 1 0 - 5 * 2 5 * 3 8 . 6 * 1 0 9 * 0 . 4 2 = 4 . 0 5 3 * 1 0 3 k N .
E * h * 1
W i d a z p o w y |s z e g o , |e t a s i Ba ( a j e s t o n a b a r d z o d u |a ) n i e z a l e |y o d r o z p i t o [c i p By t y
m o s t o w e j . O c z y w i [c i e s z e r o k o [ p o t r z e b n e j s z c z e l i n y d y l a t a c y j n e j b d z i e o d n i e j z a l e |a Ba .
P r z y k Ba d 9 . 8 . 6 . D o b r a p o t r z e b n y p r z e k r ó j p r t a A B w p a s i e d o l n y m p o d a n e j s t a l o w e j
k r a t o w n i c y , j e [l i w y t r z y m a Bo [ o b l i c z e n i o w a s t a l i R = 2 1 5 M P a . P r z e k r ó j p r t a m a b y
z Bo |o n y z d w ó c h k t o w n i k ó w r ó w n o r a m i e n n y c h . P o w y z n a c z e n i u p r z e k r o j u o b l i c z y n o [n o [
t e g o p r t a .
R o z w i z a n i e
1 0 0 k N
1 0 0 k N 1 0 0 k N 1 0 0 k N
1 0 0 k N
5 0 k N 5 0 k N
S i B w p r c i e A B w y z n a c z y m y
m e t o d R i t t e r a . W a r u n e k
C
r ó w n o w a g i o d c i t e j l e w e j c z [c i
k r a t o w n i c y d a j e :
2 m
L
£ M = 0
C
2 m
3 0 0 * 4 - 5 0 * 4 - 1 0 0 * 2 - N * 4 = 0
A B
A B
N
A B
N = 2 0 0 k N ( p r t j e s t r o z c i g a n y )
A B
6 * 2 m
3 0 0 k N
3 0 0 k N
8 6
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
P o t r z e b n e p o l e p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o w y z n a c z a m y z w a r u n k u g r a n i c z n e g o n o [n o [c i :
N N 2 0 0 * 1 0 3
A B A B
d" R ’! A e" ’! A e" = 9 . 3 0 2 * 1 0 - 4 m 2 = 9 . 3 0 2 c m 2 .
A R
2 1 5 * 1 0 6
P r z y j t o z t a b l i c p r o f i l i w a l c o w a n y c h
4 5 m m
2 4 5 / 4 5 / 6 , k t ó r y c h p o l e p r z e k r o j u
p o p r z e c z n e g o A = 1 0 . 2 c m 2 ( n a j b l i |s z e w
t a b l i c a c h a l e w i k s z e o d o b l i c z o n e g o ) .
P r z e z n o [n o [ p r t a r o z u m i e m y n a j w i k s z s i B p o d Bu |n k t ó r m o |e p r z e n i e [ b e z u t r a t y
c i g Bo [c i .
Z w a r u n k u n o [n o [c i o t r z y m u j e m y n o [n o [ p r t a A B :
m a x N
A B
d" R ’! m a x N d" A R ’! m a x N d"1 0 . 2 * 2 1 5 * 1 0 2 = 2 1 9 . 3 * 1 0 3 N .
A B A B
A
s t a l
P r z y k Ba d 9 . 8 . 7 . W y z n a c z y p o t r z e b n e w y m i a r y C
p r z e k r o j ó w p o p r z e c z n y c h p r t ó w d a n e g o u k Ba d u
d
p r z e g u b o w o - p r t o w e g o j e [l i : w y t r z y m a Bo [
o b l i c z e n i o w a s t a l i R = 1 6 5 M P a i w y t r z y m a Bo [
3 . 0 m
o b l i c z e n i o w a d r e w n a p r z y [c i s k a n i u R c , d = 1 0 M P a .
d r e w n o
P o w y z n a c z e n i u w y m i a r ó w o k r e [l i p o Bo |e n i e
a
p u n k t u B p o d e f o r m a c j i , j e [l i m o d u By s p r |y s t o [c i
A
B
±
p o d Bu |n e j s t a l i i d r e w n a w y n o s z :
E s = 2 0 5 G P a i E d = 9 G P a .
4 . 0 m
P = 2 4 k N
N B C
R o z w i z a n i e
S i By w p r t a c h w y z n a c z y m y z w a r u n k ó w
r ó w n o w a g i s i B d z i a Ba j c y c h n a w z e B B .
N A B
£ X = 0 ; - N B C c o s ± - N = 0 B
±
A B
£ Y = 0 ; N B C s i n ± - P = 0
Y
X
N = - 3 2 . 0 k N ( p r t [c i s k a n y )
A B
P = 2 4 k N
N B C = 4 0 . 0 k N ( p r t r o z c i g a n y )
W y m i a r y p r z e k r o j ó w p o p r z e c z n y c h p r t ó w w y z n a c z y m y z w a r u n k u g r a n i c z n e g o n o [n o [c i .
P r t A B d r e w n i a n y ; [c i s k a n y : P r t B C s t a l o w y ; r o z c i g a n y :
2
N N
3 2 * 1 0 3 N N B C À d 4 0 * 1 0 3
A B A B
B C
d" R c , d ’! A A B e" ’! a 2 e" d" R s ’! A B C e" ’! e"
A A B R c , d A B C R s 4
1 0 * 1 0 6 1 6 5 * 1 0 6
d e"1 . 7 6 * 1 0 - 2 m
a e"5 . 6 6 * 1 0 - 2 m
P r z y j t o d o w y k o n a n i a d = 1 . 8 c m .
P r z y j t o d o w y k o n a n i a a = 6 . 0 c m .
W y d Bu |e n i e p r t a B C
S k r ó c e n i e p r t a A B
8 7
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
N l A B 3 2 * 1 0 3 * 4
N B C l B C 4 0 * 1 0 3 * 5
A B
" l A B = = = " l B C = = =
E d A A B E s A B C
9 * 1 0 9 * 3 6 * 1 0 - 4 2 0 5 * 1 0 9 * ( À 1 . 8 2 4 ) * 1 0 - 4
= 0 . 3 9 5 * 1 0 - 2 m .
= 0 . 3 8 3 * 1 0 - 2 m .
Z e w z g l d u n a b a r d z o m a Be s k r ó c e n i e i w y d Bu |e n i e p r t ó w ,
p o Bo |e n i a p u n k t u B p o d e f o r m a c j i p o s z u k i w a b d z i e m y n a
p r o s t y c h p r o s t o p a d By c h d o p i e r w o t n y c h k i e r u n k ó w p r t ó w , t a k ±
u B B u
j a k t o j e s t p o k a z a n e n a r y s u n k u o b o k , n a z y w a n y m p l a n e m
p r z e m i e s z c z e D. W p r z y j t y m u k Ba d z i e o d n i e s i e n i a w s p ó Br z d n e
"l A B ±
"l B C
w e k t o r a p r z e m i e s z c z e n i a B B ' ( u B , v B ) m a j w a r t o [c i :
u B = - " l A B = - 0 . 3 9 5 c m
±
4
v B = " l A B c t g ± + " l B C s i n ± = 0 . 3 9 5 + 0 . 3 8 3 0 . 6 = 1 . 1 6 5 c m
B
3 v B
P r z e r y w a n e l i n i e n a p l a n i e p r z e m i e s z c z e D w y j a [n i a j , w j a k i
v
s p o s ó b w y l i c z o n o v B .
P r z y k Ba d 9 . 8 . 8 .
W y z n a c z y w s p ó Br z d n e w e k t o r a p r z e m i e s z c z e n i a p u n k t u p r z y Bo |e n i a s i By p o d a n e g o u k Ba d u
p r z e g u b o w o - p r t o w e g o .
R o z w i z a n i e
1
P r z y j m i j m y , |e z n a n e s w a r t o [c i s i By , w i e l k o [c i
o k r e [l a j c e g e o m e t r i u k Ba d u i m o d u B Y o u n g a c o
A
±
p o z w a l a w y l i c z y s i By w p r t a c h u k Ba d u i w i e l k o [c i
w y d Bu |e n i a i s k r ó c e n i a o d p o w i e d n i c h p r t ó w "1 i "2 .
²
P r z y d o w o l n e j g e o m e t r i i u k Ba d u k Bo p o t l i w e j e s t p o
P
2
n a r y s o w a n i u p l a n u p r z e m i e s z c z e D w y z n a c z e n i e
w s p ó Br z d n y c h w e k t o r a p r z e m i e s z c z e n i a p u n k t u
p r z y Bo |e n i a s i By A A ' ( u A , v A ) . Aa t w o m o |n a t o z r o b i
p o s t p u j c w p o k a z a n y n i |e j s p o s ó b .
W r o z w a |a n y m p u n k c i e p r z y j m i j m y u k Ba d o d n i e s i e n i a
1
( u , v ) w k t ó r y m c h c e m y w y z n a c z y w s p ó Br z d n e
w e k t o r a p r z e m i e s z c z e n i a . W s p ó Br z d n e w e r s o r ó w
A u
±
k i e r u n k o w y c h p r t ó w w p r z y j t y m u k Ba d z i e w y n o s z
²
o d p o w i e d n i o : e 1 ( c o s ±, s i n ±) o r a z e 2 ( - c o s ² , s i n ² )
"1
e 2 e 1
i i c h w y z n a c z e n i e j e s t p r o s t e p r z y z n a n e j g e o m e t r i i
2
"2
u k Ba d u .
K o r z y s t a j c z w Ba s n o [c i i l o c z y n u s k a l a r n e g o w e k t o r ó w
m o |e m y n a p i s a u k Ba d r ó w n a D:
ñø
u A c o s ± + v A s i n ± = "
ñø
ôø A A ' e 1 = "
1
1
’! ,
òø òø
( - c o s ² ) + v A s i n ² = "
ôø e 2 = " óøu A 2
óøA A ' 2
z k t ó r e g o n i e j e s t t r u d n o w y l i c z y o b i e p o s z u k i w a n e
A
v
w s p ó Br z d n e u A o r a z v A .
8 8
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
W o m a w i a n y m p r z y k Ba d z i e p r z y j m u j o n e w a r t o [c i :
"1 s i n ² - "2 s i n ± "1 c o s ² + "2 c o s ±
u A = ; v A = .
s i n ± c o s ² + s i n ² c o s ± s i n ± c o s ² + s i n ² c o s ±
P r z y k Ba d 9 . 8 . 9 . W y z n a c z y s i By w o d k s z t a Bc a l n y c h p r t a c h u k Ba d u s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n e g o
i w s p ó Br z d n e w e k t o r a p r z e m i e s z c z e n i a p u n k t u K . D a n e s w a r t o [c i o b c i |e D, m o d u By
s p r |y s t o [c i i w y m i a r y u k Ba d u . N i e o d k s z t a Bc a l n e p r t y u k Ba d u n a r y s o w a n e z o s t a By g r u b y m i
l i n i a m i .
B
K
2
4 P
a
A P
a
1
C
D
a
a a
W c e l u w y z n a c z e n i a s i B w o d k s z t a Bc a l n y c h p r t a c h d o k o n u j e m y p o d z i a Bu k o n s t r u k c j i , a
n a s t p n i e r o z p a t r u j e m y w a r u n k i r ó w n o w a g i o d c i t y c h c z [c i .
B
K
N 2
N 2
4 P
a
P
A
a
N 1
H C
H D
D
C
V D a a
V C
£ M = 0 ’! N 2 * 2 a - 4 P * a = 0 £ M = 0 ’! N 1 * a - N 2 * 2 a + P * a = 0
D C
N 2 = 2 P N 1 = 3 P
Z n a j o m o [ s i B w p r t a c h 1 o r a z 2 p o z w a l a w y z n a c z y i c h w y d Bu |e n i a :
3 P a 4 P a
"1 = o r a z "2 = .
E 1 A 1 E 2 A 2
P r z e m i e s z c z e n i e p u n k t u K b d z i e z a l e |a Bo o d p r z e m i e s z c z e n i a p u n k t u B s p o w o d o w a n e g o
w y d Bu |e n i e m p r t a 1 o r a z w y d Bu |e n i a p r t a 2 .
P l a n p r z e m i e s z c z e D p o k a z u j e r y s u n e k n i |e j .
8 9
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
2 "1 + "2
2 "1 u
B
2
B K ±
A
a
K
"1
v
A
±
a
1
C
D
a
a a
P o Bo |e n i a p u n k t u A p o d e f o r m a c j i p o s z u k u j e m y n a p r o s t o p a d Be j d o p i e r w o t n e g o k i e r u n k u
p r t a 1 i p r o s t o p a d Be j d o k i e r u n k u o d c i n k a A C , k t ó r y j e s t n i e o d k s z t a Bc a l n y . P o d o b n i e
p o s t p u j e m y w p u n k c i e K .
W s p ó Br z d n e p r z e m i e s z c z e n i a w e k t o r a p u n k t u K w y n o s z :
u K = 2 "1 + "2 i v K = ( 2 "1 + "2 ) t g ±
g d z i e : t g ± = 1 / 2 .
B
P r z y k Ba d 9 . 8 . 1 0 . P r t B C ( n a o d c i n k u B 1 2 a
d r e w n i a n y n a o d c i n k u 1 C s t a l o w y ) ,
2 m
p o t r z y m u j e s z t y w n r a m A D k o n s t r u k c j i
P = 1 2 k N
p r t o w e j o g e o m e t r i i i o b c i z e n i u j a k n a
1
r y s . W y z n a c z y w y m i a r a p r t a B C z
a
2 m
w a r u n k u n o [n o [c i , j e [l i : w y t r z y m a Bo [
D
o b l i c z e n i o w a n a r o z c i g a n i e s t a l i C
q = 1 0 k N / m
R s = 2 1 5 M P a , d r e w n a R d = 8 M P a , i
w a r u n k u u |y t k o w a n i a |a d a j c y m a b y
4 m
p i o n o w e p r z e m i e s z c z e n i e p u n k t u D - v D
n i e p r z e k r a c z a Bo 1 c m . M o d u B s p r |y s t o [c i
w y n o s z : s t a l i E s = 2 0 5 G P a , d r e w n a
A
E d = 9 G P a .
4 m 2 m
R o z w i z a n i e
N B 1
O b l i c z e n i e s i B o s i o w y c h w p r c i e B C .
S i B n a o d c i n k u B 1 w y z n a c z y m y z w a r u n k u
P = 1 2 k N
z e r o w a n i a s i m o m e n t ó w w z g l d e m p u n k t u
A w s z y s t k i c h s i B d z i a Ba j c y c h n a o d c i t
D
c z [ k o n s t r u k c j i ( r y s . o b o k )
= 0 ,
C
"M A
q = 1 0 k N / m
N B 1 * 4 2 + 1 2 * 4 2 - 1 0 * 4 * 2 = 0 ,
4 m
N B 1 = 2 . 1 4 2 k N .
S i Ba n a o d c i n k u 1 C j e s t r ó w n a :
A
H A
N 1 C = N B 1 + P = 2 . 1 4 2 + 1 2 . 0 0 = 1 4 . 1 4 2 k N .
4 m
V A
9 0
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
W y z n a c z e n i e w y m i a r u a z w a r u n k u n o [n o [c i :
p r t s t a l o w y :
N 1 C À a 2 1 4 . 1 4 2 * 1 0 3
d" R s ’! e" ’! a e" 0 . 9 1 5 * 1 0 - 2 m ,
4
À a 2 4 2 1 5 * 1 0 6
p r t d r e w n i a n y :
N B 1 2 . 1 4 2 * 1 0 3
d" R d ’! 4 a 2 e" ’! a e" 0 . 8 1 8 * 1 0 - 2 m .
4 a 2 8 * 1 0 6
W y z n a c z e n i e w y m i a r u a p r z e k r o j u p r t a z
C
D
w a r u n k u u |y t k o w a n i a .
P i o n o w e p r z e m i e s z c z e n i e p u n k t u D , k t ó r e
C
v D
w y n o s i ( p a t r z r y s . o b o k )
±
B
v D = D D ' c o s ²
±
D
4 m
B
p o t r z e b u j e m y w y r a z i p o p r z e z w y d Bu |e n i e
p r t a B C .
Z p l a n u p r z e m i e s z c z e D p o k a z a n e g o o b o k
²
o d c z y t u j e m y ,
c o s ² = 6 4 2 + 6 2 = 0 . 8 3 2 ,
A
4 m
2 m
D D ' = 4 2 + 6 2 t g ± = 7 . 2 1 1 t g ±
t g ± = 4 2 C C '
W y d Bu |e n i e p r t a B C :
N B 1 l B 1 N 1 C l 1 C 2 . 1 4 2 * 2 2 1 4 . 1 4 2 * 2 2
" l B C = C C ' = " l B 1 + " l 1 C = + = + =
E d * A B 1 E s * A 1 C
9 * 1 0 9 * 4 a 2 2 0 5 * 1 0 9 * À a 2 4
= 0 . 4 1 7 * 1 0 - 9 a - 2
P i o n o w e p r z e m i e s z c z e n i e p u n k t u D :
v D = D D ' c o s ² = 3 3 . 9 3 8 * C C ' = 1 4 . 1 5 2 * 1 0 - 9 a - 2 ,
s t d w a r u n e k u |y t k o w a n i a d a j e :
1 4 . 1 5 2 * 1 0 - 9 a - 2 d" 1 * 1 0 - 2 ’! a e" 1 . 1 8 9 * 1 0 - 2 m .
J a k w i d c z o b l i c z e D o w i e l k o [c i a d e c y d u j e w t y m p r z y p a d k u s t a n g r a n i c z n y u |y t k o w a n i a i
o s t a t e c z n i e p r z y j t o d o w y k o n a n i a a = 1 . 2 0 c m .
P r z y k Ba d 9 . 8 . 1 1 . W y z n a c z y s i By w p r t a c h u k Ba d u p o k a z a n e g o n a r y s u n k u , o b c i |o n e g o s i B
P = 4 8 k N j e [l i p r z e k r o j e w s z y s t k i c h p r t ó w s j e d n a k o w e o p o l u A = 2 c m 2 . O k r e [l i
p o Bo |e n i e p u n k t u p r z y Bo |e n i a s i By p o d e f o r m a c j i j e [l i m o d u B Y o u n g a m a t e r i a Bu p r t ó w E =
2 0 5 G P a .
9 1
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
3 . 2 m
1 . 8 m
l 1 = 4 . 0 m , l 2 = 2 . 4 m , l 3 = 3 . 0 m
1
3
2
s i n ± = 0 . 8
2 . 4 m
±
c o s ± = 0 . 6
K
P
R o z w i z a n i e
K o n s t r u k c j a j e s t j e d n o k r o t n i e s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n a . W i d a t o w y r a zn i e p o w y c i c i u
w z Ba K , n a k t ó r y , o p r ó c z s i By z e w n t r z n e j P , o d d z i a By w a j t r z y n i e w i a d o m e s i By o s i o w e z
p r t ó w , a p o n i e w a | t w o r z o n e u k Ba d s i B z b i e |n y c h , t o i s t n i e j j e d y n i e d w a n i e z a l e |n e
w a r u n k i r ó w n o w a g i . W p r z y p a d k u k o n s t r u k c j i s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n y c h , a b y w y z n a c z y
s i By p r z e k r o j o w e l u b r e a k c j e o p r ó c z r ó w n a D r ó w n o w a g i m u s i m y s f o r m u Bo w a r ó w n a n i a
g e o m e t r y c z n e w y n i k a j c e z k i n e m a t y c z n y c h w a r u n k ó w b r z e g o w y c h ( s p o s o b u p o d p a r c i a l u b
w z a j e m n y c h p o Bc z e D e l e m e n t ó w k o n s t r u k c j i ) . L i c z b a n i e z a l e |n y c h r ó w n a D g e o m e t r y c z n y c h
j e s t r ó w n a k r o t n o [c i s t a t y c z n e j n i e w y z n a c z a l n o [c i u k Ba d u . T a k w i c k o m p l e t r ó w n a D, k t ó r y
p o z w a l a n a w y z n a c z e n i e s i B p r z e k r o j o w y c h , s k Ba d a s i z r ó w n a D r ó w n o w a g i i r ó w n a D
g e o m e t r y c z n y c h .
W t y m m i e j s c u n a l e |y p o w i e d z i e j e s z c z e o i n n e j w a |n e j r ó |n i c y m i d z y u k Ba d a m i s t a t y c z n i e
n i e w y z n a c z a l n y m i i w y z n a c z a l n y m i . R z e c z w t y m , |e n a w i e l k o [c i s i B p r z e k r o j o w y c h w
k o n s t r u k c j a c h s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n y c h m a j w p By w : z m i a n y t e m p e r a t u r y , b Bd y
m o n t a |o w e , o s i a d a n i e p o d p ó r , c h a r a k t e r y s t y k i g e o m e t r y c z n e p r z e k r o j ó w ( p o l e p r z e k r o j u ,
m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i ) j a k i s t a Be m a t e r i a Bo w e . W k o n s t r u k c j a c h s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n y c h
s i By p r z e k r o j o w e s n i e z a l e |n e o d t y c h z j a w i s k i p a r a m e t r ó w .
R ó w n a n i a r ó w n o w a g i :
N 1 N 2
N 3
£ X = 0 ;
,
±
- N 1 s i n ± + N 3 c o s ± = 0
K
£ Y = 0 ;
.
N 1 c o s ± + N 2 + N 3 s i n ± = P
P
1 W a r u n e k g e o m e t r y c z n y w r o z w a |a n y m u k Ba d z i e w y n i k a
2
3
z p o Bc z e n i a t r z e c h p r t ó w w w zl e K . W y d Bu |e n i a
±
p r t ó w m u s z b y t a k i e , a b y p o d e f o r m a c j i k o Dc e
u
K
p r t ó w s c h o d z i By s i w j e d n y m p u n k c i e . N a r y s o w a n y
e 3
o b o k p l a n p r z e m i e s z c z e D s t a n o w i p o d s t a w d o
e 1
s f o r m u Bo w a n i a r ó w n a n i a g e o m e t r y c z n e g o , a d o k Ba d n i e j
" 3
m ó w i c r ó w n a n i a n i e r o z d z i e l n o [c i p r z e m i e s z c z e D. P r z y
e 2
" 1 w y z n a c z e n i u t e g o r ó w n a n i a z a s t o s u j e m y w c z e [n i e j
o p i s a n e p o d e j [c i e , w y k o r z y s t u j c e i l o c z y n y s k a l a r n e
'
w e k t o r a p r z e m i e s z c z e n i a K K ( u K , v K ) i w e r s o r ó w
" 2
K
v
9 2
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
k i e r u n k o w y c h p r t ó w u k Ba d u e 1 , e 2 , e 3 .
I t a k , w s p ó Br z d n e w e r s o r ó w w p r z y j t y m u k Ba d z i e o s i ( u , v ) s : e 1 ( s i n ±, c o s ±) , e 1 ( 0 , 1 ) ,
e 3 ( - c o s ±, s i n ±) .
U k Ba d r ó w n a D, z k t ó r e g o d l a d o w o l n e j g e o m e t r i i u k Ba d u Ba t w o m o |e m y w y z n a c z y r ó w n a n i e
n i e r o z d z i e l n o [c i p r z e m i e s z c z e D m a p o s t a :
'
ñø
K K Å"e 1 = "1
ôø
ôøK K '
Å"e 2 = "2
òø
'
ôøK K Å"e 3 = "3
ôø
óø
Z t a k i e g o u k Ba d u z a w s z e m o |n a u z y s k a r ó w n a n i e w i |c e w y d Bu |e n i a p r t ó w .
P o d s t a w i e n i e d a n y c h z r o z w a |a n e g o p r z y k Ba d u d a j e u k Ba d :
u K s i n ± + v K c o s ± = "1
ñø
ôø
v K = "2
òø
ôø- u K c o s ± + v K s i n ± = "3
óø
z k t ó r e g o o t r z y m u j e m y r ó w n a n i e g e o m e t r y c z n e w p o s t a c i :
"2 = "1 c o s ± + "3 s i n ± .
O s t a t e c z n i e k o m p l e t r ó w n a D d o w y z n a c z e n i a s i B p r z e k r o j o w y c h p r z e d s t a w i a s i n a s t p u j c o :
ñø
ôø - N 1 s i n ± + N 3 c o s ± = 0
ôø
N 1 c o s ± + N 2 + N 3 s i n ± = P .
òø
ôø
N 2 l 2 N 1 l 1 N 3 l 3
= c o s ± + s i n ±
ôø
E A E A E A
óø
W w y n i k u j e g o r o z w i z a n i a o t r z y m u j e m y : N 1 = 1 2 . 0 k N , N 2 = 2 8 . 0 k N , N 3 = 1 6 . 0 k N .
W y d Bu |e n i a p r t ó w w y n o s z :
1 2 * 1 0 3 * 4 2 8 * 1 0 3 * 2 . 4
"1 = = 1 . 1 7 1 * 1 0 - 3 m , "2 = = 1 . 6 3 9 * 1 0 - 3 m ,
2 0 5 * 1 0 9 * 2 * 1 0 - 4 2 0 5 * 1 0 9 * 2 * 1 0 - 4
1 6 * 1 0 3 * 3
"3 = = 1 . 1 7 1 * 1 0 - 3 m .
2 0 5 * 1 0 9 * 2 * 1 0 - 4
W s p ó Br z d n e w e k t o r a p r z e m i e s z c z e n i a p u n k t u K , w y z n a c z o n e z u k Ba d u r ó w n a D:
u K s i n ± + v K c o s ± = "1
ñø
,
òø
v K = "2
óø
s r ó w n e : u K = 0 . 2 3 4 m m , v K = 1 . 6 3 9 m m .
P r z y k Ba d 9 . 8 . 1 2 . W y z n a c z y s i By w p r t a c h p o d a n e g o u k Ba d u p r z y w z r o [c i e t e m p e r a t u r y
"T = 3 0 ° C , j e [l i : m o d u B s p r |y s t o [c i p o d Bu |n e j s t a l i E = 2 0 5 G P a a w s p ó Bc z y n n i k
9 3
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
r o z s z e r z a l n o [c i l i n i o w e j µT = 1 2 * 1 0 - 6 / ° C , p r z e k r o j e p o p r z e c z n e w s z y s t k i c h p r t ó w s
j e d n a k o w e o p o l u A = 2 c m 2 .
3 . 2 m 1 . 8 m
l 1 = 4 . 0 m , l 2 = 2 . 4 m , l 3 = 3 . 0 m ,
1
2 3
s i n ± = 0 . 8
2 . 4 m
±
c o s ± = 0 . 6
K
R o z w i z a n i e
K o n s t r u k c j a j e s t s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n a . w i c z m i a n a w a r u n k ó w j e j p r a c y w p o s t a c i
z m i a n y t e m p e r a t u r y c z y p r z e m i e s z c z a n i a s i p o d p ó r s k u t k u j e p o w s t a w a n i e m w n i e j s i B
p r z e k r o j o w y c h , w t y m p r z y p a d k u b d t o s i By p o d Bu |n e .
W r ó w n a n i a c h r ó w n o w a g i n i e w y s t p i z e w n t r z n e s i By o b c i |a j c e , w e w z o r a c h n a
w y d Bu |e n i a p r t ó w d o j d c z Bo n y z w i z a n e z e w z r o s t e m t e m p e r a t u r y .
R ó w n a n i a r ó w n o w a g i :
N 3
N 1 N 2
£ X = 0
- N 1 s i n ± + N 3 c o s ± = 0
±
£ Y = 0
K
N 1 c o s ± + N 2 + N 3 s i n ± = 0
W a r u n e k g e o m e t r y c z n y j e s t t a k i s a m j a k w p r z y k Ba d z i e 9 . 8 . 1 1 b o g e o m e t r i a u k Ba d u j e s t
i d e n t y c z n a .
"2 = "1 c o s ± + "3 s i n ± ,
a l e z m i e n i s i w z o r y o k r e [l a j c e z m i a n d Bu g o [c i p r t ó w , g d y | p o j a w i s i c z Bo n y z w i z a n e
z e z m i a n t e m p e r a t u r y :
N 1 l 1 N 2 l 2 N 3 l 3
"1 = + µT "T l 1 , "2 = + µT "T l 2 , "3 = + µT "T l 3 ,
E A E A E A
i k o m p l e t r ó w n a D d o w y z n a c z e n i a s i B o s i o w y c h w p r t a c h m a p o s t a :
ñø
ôø
- N 1 s i n ± + N 3 c o s ± = 0
ôø
ôø
N 1 c o s ± + N 2 + N 3 s i n ± = 0
òø
ôø
N 2 l 2 ëø N 1 l 1 öø ëø N 3 l 3 öø
÷ø ÷ø
+ µT "T l 2 = ìø + µT "T l 1 ÷ø c o s ± + ìø + µT "T l 3 ÷ø s i n ±
ôø
ìø ìø
ôø E A E A E A
íø øø íø øø
óø
W w y n i k u j e g o r o z w i z a n i a o t r z y m u j e m y : N 1 = - 7 . 3 8 k N , N 2 = 1 2 . 3 0 k N , N 3 = - 9 . 8 4 k N .
9 4
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
P r z y k Ba d 9 . 8 . 1 3 . W y z n a c z y
s i By w p r t a c h u k Ba d u 1
p o k a z a n e g o n a r y s u n k u ,
4 m
o b c i |o n e g o s i B P = 6 0 k N j e [l i
w s z y s t k i e p r t y m a j j e d n a k o w e
p r z e k r o j e p o p r z e c z n e i
P
3 m
j e d n a k o w e s i c h m o d u By
3
2
Y o u n g a .
3 m 4 m
R o z w i z a n i e
K o n s t r u k c j a j e s t j e d n o k r o t n i e s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n a .
R ó w n a n i a r ó w n o w a g i :
N 1
£ X = 0 ;
±1 K
,
- N 1 c o s ±1 - N 2 c o s ±2 + N 3 c o s ±3 = 0
±2 ±3
P
£ Y = 0 ;
N 2
.
N 3
N 1 s i n ±1 - N 2 s i n ±2 - N 3 s i n ±3 = P
R ó w n a n i e n i e r o z d z i e l n o [c i p r z e m i e s z c z e D n a p i s z e m y n a
u p o d s t a w i e p r z y j t e g o ( n a r y s o w a n e g o o b o k ) p l a n u
±1 K
p r z e m i e s z c z e D. W e k t o r p r z e m i e s z c z e n i a l i n i o w e g o w z Ba
±2 ±3
w k t ó r y m p r z y Bo |o n a j e s t s i Ba , w p r z y j t y m u k Ba d z i e
e 3
'
e 2
( u K ) .
" 3 o d n i e s i e n i a ( u , v ) , m a w s p ó Br z d n e K K , v K
e 1
W e r s o r y k i e r u n k o w e o s i p r t ó w m a j w s p ó Br z d n e :
" 2
e 1 ( c o s ±1 , s i n ±1 ) , e 2 ( - c o s ±2 , s i n ±2 ) ,
" 1
e 3 ( c o s ±3 , s i n ±3 ) .
v K
Z g e o m e t r i i k o n s t r u k c j i b e z t r u d u w y z n a c z a m y :
c o s ±1 = 0 . 6 0 0 , s i n ±1 = 0 . 8 0 0 , c o s ±2 = s i n ±2 = 0 . 7 0 7 , c o s ±3 = 0 . 8 0 0 , s i n ±3 = 0 . 6 0 0 .
U k Ba d r ó w n a D, z k t ó r e g o m o |e m y w y z n a c z y r ó w n a n i e n i e r o z d z i e l n o [c i p r z e m i e s z c z e D m a
p o s t a :
ñø
K K ' Å"e = "
1 1
ôø
ôø
Å" e = " ’!
òøK K '
2 2
ôøK K '
Å" e = "
3 3
ôø
óø
ñø c o s ±1 * u K + s i n ±1 * v K = " ñø 0 . 6 0 0 * u K + 0 . 8 0 0 * v K = "
1 1
ôø ôø
òø- c o s ±2 * u K + s i n ±2 * v K = " ’! òø- 0 . 7 0 7 * u K + 0 . 7 0 7 * v K = "
2 2
ôø ôø
c o s ±3 * u K + s i n ±3 * v K = " 0 . 8 0 0 * u K + 0 . 6 0 0 * v K = "
3 3
óø óø
9 5
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
W r ó w n a n i a c h w y s t p u j b e z w z g l d n e w a r t o [c i z m i a n d Bu g o [c i p r t ó w , b o p l a n
p r z e m i e s z c z e D z a k Ba d a r ó w n i e | s k r ó c e n i e n i e k t ó r y c h p r t ó w .
Z t e g o u k Ba d u w y z n a c z a m y p o s z u k i w a n e r ó w n a n i e g e o m e t r y c z n e :
5 . 0 0 0 * " - 5 . 0 0 0 * " = 1 . 4 1 4 * " , a l e p l a n p r z e m i e s z c z e D z a k Ba d a w y d Bu |e n i e p r t a 1 i
1 3 2
s k r ó c e n i e p r t ó w 2 i 3 , w i c " < 0 o r a z " < 0 , z a t e m " = - " i " = - " , i
2 3 2 2 3 3
o s t a t e c z n i e r ó w n a n i e g e o m e t r y c z n e m a p o s t a :
5 . 0 0 0 * " + 5 . 0 0 0 * " = - 1 . 4 1 4 * " .
1 3 2
U w z g l d n i a j c , |e s z t y w n o [ n a r o z c i g a n i e E A w s z y s t k i c h p r t ó w j e s t j e d n a k o w a , k o m p l e t
r ó w n a D d o w y z n a c z e n i a s i B w p r t a c h p o d a n e g o u k Ba d u j e s t n a s t p u j c y :
ñø - 0 . 6 0 0 N 1 - 0 . 7 0 7 N 2 + 0 . 8 0 0 N 3 = 0
ôø
0 . 8 0 0 N 1 - 0 . 7 0 7 N 2 - 0 . 6 0 0 N 3 = 6 0
òø
ôø5 . 0 0 0 N * 5 + 5 . 0 0 0 N 2 * 5 = - 1 . 4 1 4 N 2 * 2 * 3
óø 1
W w y n i k u j e g o r o z w i z a n i a o t r z y m u j e m y :
N 1 = 2 6 . 3 5 3 k N , N 2 = - 4 1 . 0 3 4 k N , N 3 = - 1 6 . 5 0 5 k N .
P r z y k Ba d 9 . 8 . 1 4 . W y z n a c z y p o t r z e b n [r e d n i c e
s t a l o w y c h o d k s z t a Bc a l n y c h p r t ó w u k Ba d u 2
1
1 . 0 m
q
o b c i |o n e g o j a k n a r y s . , j e [l i : q = 5 0 k N / m ,
A 1 = 2 A 2 , E 1 = E 2 = E , R = 1 6 5 M P a .
N a r y s o w a n y p o g r u b i o n l i n i p r t A B C j e s t
A
B C
n i e o d k s z t a Bc a l n y .
1 . 0 m 1 . 0 m 1 . 0 m
R o z w i z a n i e
U k Ba d j e s t j e d n o k r o t n i e s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n y . A b y w y z n a c z y s i By p r z e k r o j o w e o p r ó c z
j e d n e g o r ó w n a n i a r ó w n o w a g i p o t r z e b u j e m y d o d a t k o w o j e d n e g o r ó w n a n i a g e o m e t r y c z n e g o .
N 2
N 1
R ó w n a n i e r ó w n o w a g i :
q
£ M = 0
A
2
H A A
N 1 * 1 + N 2 * - q * 3 * 1 . 5 = 0 B
C
2
V A
P o z i o m y p r t j e s t n i e o d k s z t a Bc a l n y , i m o |e s i
o b r a c a t y l k o w z g l d e m p u n k t u A .
P a m i t a j c o t y m , |e p o Bo |e n i a p u n k t ó w p o 1
2
d e f o r m a c j i p o s z u k i w a b d z i e m y n a
B
C
p r o s t o p a d By c h d o p i e r w o t n y c h k i e r u n k ó w
"2
p r t ó w , m o |e m y n a p i s a p o n i |s z e r ó w n a n i e
g e o m e t r y c z n e :
B
"1
C
'
B B ' C C
'
= , a l e B B ' = "1 ; C C = 2 "2
1 2
s t d :
2 "1 = 2 "2
9 6
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
N 1 l 1 N 2 l 2
P o d s t a w i a j c z a "1 = o r a z "2 = w r a z z z a l e |n o [c i a m i m i d z y d Bu g o [c i a m i
E A 1 E A 2
p r t ó w i c h p r z e k r o j a m i i m o d u Ba m i Y o u n g a d o r ó w n a n i a g e o m e t r y c z n e g o o t r z y m u j e m y :
N 1 = 2 N .
2
K o m p l e t r ó w n a D z k t ó r e g o m o |e m y w y z n a c z y s i By w p r t a c h m a p o s t a :
2
ñøN + N 2 = 4 . 5 q
ôø
1
a j e g o r o z w i z a n i e d a j e : N 1 = 1 3 1 . 8 0 k N , N 2 = 6 5 . 9 0 k N .
òø
2
ôø
N 1 = 2 N 2
óø
P o t r z e b n e [r e d n i c e p r t ó w w y z n a c z y m y z w a r u n k u n o [n o [c i :
2
N 1 À d 1 1 3 1 . 8 0 * 1 0 3
P r t 1 : d" R ’! e" ’! d 1 e"3 . 1 8 9 * 1 0 - 2 m .
A 1 4
1 6 5 * 1 0 6
2
N 2 À d 2 6 5 . 9 0 * 1 0 3
P r t 2 : d" R ’! e" ’! d 2 e" 2 . 2 5 5 * 1 0 - 2 m .
A 2 4
1 6 5 * 1 0 6
P o n i e w a | s i By w p r t a c h z o s t a By w y z n a c z o n e p r z y z a Bo |o n y c h p r o p o r c j a c h A = 2 A w i c
1 2
[r e d n i c e p r t ó w z w i z a n e s z a l e |n o [c i d 1 = 2 d 2 i d o w y k o n a n i a p r z y j t o d 1 = 3 . 2 0 c m a
d 2 = 2 . 2 6 c m . ]
P r z y k Ba d 9 . 8 . 1 5 . W y z n a c z y n a p r |e n i a i z m i a n y
B
C
d Bu g o [c i o d k s z t a Bc a l n y c h p r t ó w u k Ba d u p r t o w e g o
0 . 5 P
o b c i |o n e g o j a k n a r y s u n k u , j e [l i s i Ba P = 1 0 0 k N ,
p o l a p r z e k r o j ó w p o p r z e c z n y c h p r t ó w
2
1 . 0 m
A 1 = 4 c m 2 , A 2 = 2 c m 2 , m o d u B s p r |y s t o [c i p o d Bu |n e j
A
1
E 1 = E 2 = 2 0 5 G P a .
K P
1 . 0 m 1 . 0 m
R o z w i z a n i e
U k Ba d j e s t j e d n o k r o t n i e s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n y .
B
R ó w n a n i e r ó w n o w a g i :
0 . 5 P
£ M = 0 H B N 2
B
V B
P
N 1 * 1 - N 2 * 2 - P * 1 + * 1 = 0
2
N 1
P
K
N a p o d s t a w i e z a Bo |o n e g o p l a n u p r z e m i e s z c z e D m o |e m y n a p i s a
K r ó w n a n i e g e o m e t r y c z n e , d o k Ba d n i e j r ó w n a n i e n i e r o z d z i e l n o [c i
p r z e m i e s z c z e D. W t y m p r z y p a d k u m a o n o p o s t a :
"2
"1 = "2 t g ±
±
P l a n p r z e m i e s z c z e D z a k Ba d a w y d Bu |e n i e p r t a 1 i s k r ó c e n i e p r t a 2 ,
±
z a t e m "1 > 0 , a "2 < 0 s t d "1 = "1 i "2 = - "2 , a p o n i e w a |
"1 t g ± = 0 . 5 r ó w n a n i e g e o m e t r y c z n e p r z y j m u j e f o r m :
K
2 "1 = - "2
Z m i a n y d Bu g o [c i p r t ó w w y n o s z :
9 7
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
N 1 l 1 N 2 l 2
"1 = ; "2 = .
E 1 A 1 E 2 A 2
K o m p l e t r ó w n a D d o w y z n a c z e n i a s i B o s i o w y c h w o d k s z t a Bc a l n y c h p r t a c h u k Ba d u :
ñø
N 1 - 2 N 2 = 5 0 * 1 0 3
ôø
’! N 1 = 1 0 . 0 k N ; N 2 = - 2 0 . 0 k N .
’!
’!
4 N 1 N 2 ’!
òø
= -
ôø2 0 5 * 1 0 9
óø * 4 * 1 0 - 4 2 0 5 * 1 0 9 * 2 * 1 0 - 4
N a p r |e n i e n o r m a l n e w p r z e k r o j u p o p r z e c z n y m p r t ó w i z m i a n y i c h d Bu g o [c i w y n o s z :
N 1 1 0 * 1 0 3
w p r c i e 1 - r o z c i g a n y m ; Ã = = = 2 5 . 0 * 1 0 6 P a = 2 5 . 0 M P a
A 1
4 * 1 0 - 4
N 1 l 1 1 0 * 1 0 3 * 2
"1 = = = 0 . 2 4 4 * 1 0 - 3 m = 0 . 2 4 4 m m .
E 1 A 1
2 0 5 * 1 0 9 * 4 * 1 0 - 4
N 2 2 0 * 1 0 3
w p r c i e 2 - [c i s k a n y m ; Ã = = - = - 1 0 0 . 0 * 1 0 6 P a = - 1 0 0 . 0 M P a
A 2
2 * 1 0 - 4
N 2 l 2 - 2 0 * 1 0 3 * 1
"2 = = = - 0 . 4 8 8 * 1 0 - 3 m = - 0 . 4 8 8 m m .
E 2 A 2
2 0 5 * 1 0 9 * 2 * 1 0 - 4
B
P r z y k Ba d 9 . 8 . 1 6 . W y z n a c z y s i By w C
o d k s z t a Bc a l n y c h p r t a c h u k Ba d u j a k n a r y s u n k u ,
s p o w o d o w a n e w z r o s t e m t e m p e r a t u r y "T = 4 5 ° C ,
j e [l i w s p ó Bc z y n n i k r o z s z e r z a l n o [c i c i e p l n e j
2
1 . 0 m
l i n i o w e j µT = 1 2 * 1 0 - 6 o C , p o l a p r z e k r o j ó w A
1
p o p r z e c z n y c h p r t ó w A 1 = A 2 = 2 c m 2 , m o d u B
s p r |y s t o [c i p o d Bu |n e j E 1 = E 2 = 2 0 5 G P a .
2 . 0 m
R o z w i z a n i e
K o n s t r u k c j a j e s t j e d n o k r o t n i e s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n a .
W r ó w n a n i a c h r ó w n o w a g i n i e w y s t p i z e w n t r z n e s i By o b c i |a j c e , w e w z o r a c h
o k r e [l a j c y c h z m i a n d Bu g o [c i p r t ó w d o j d c z Bo n y z w i z a n e z e w z r o s t e m t e m p e r a t u r y .
B
R ó w n a n i e r ó w n o w a g i :
£ M = 0
H B N 2
B
N 1 * 1 - N 2 * 2 = 0
V B
N 1
K
9 8
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
R ó w n a n i e n i e r o z d z i e l n o [c i p r z e m i e s z c z e D :
± K
"1 = "2 t g ± ,
"1
±
a l e "1 < 0 , a "2 > 0 s t d "1 = - "1 i "2 = "2 ,
w i c r ó w n a n i e g e o m e t r y c z n e p r z y j m u j e f o r m :
K
"2
"2 = - 2 "1
Z m i a n y d Bu g o [c i p r t ó w w y n o s z :
N 1 l 1 N 2 l 2
"1 = + µT "T l 1 , "2 = + µT "T l 2 .
E 1 A 1 E 2 A 2
K o m p l e t r ó w n a D d o w y z n a c z e n i a s i B o s i o w y c h w o d k s z t a Bc a l n y c h p r t a c h u k Ba d u :
N 1 - 2 N 2 = 0
ñø
ôø
N 2 2 N 1
’!
ëø öø ’!
’!
’!
òø
+ 1 2 * 1 0 - 6 * 4 5 * 2
÷ø
ôø2 0 5 * 1 0 9 * 2 * 1 0 - 4 + 1 2 * 1 0 - 6 * 4 5 * 1 = - 2 ìø
2 0 5 * 1 0 9 * 2 * 1 0 - 4
íø øø
óø
N 1 = - 2 4 6 0 0 k N ; N 2 = - 1 2 3 0 0 k N .
N a s z k i c u j m y p o Bo |e n i e p u n k t u K p o d e f o r m a c j i k o n s t r u k c j i .
2
N 1 l 1 - 2 4 6 0 0 * 2
"1 = + µT "T l 1 = + 1 2 * 1 0 - 6 * 4 5 * 2 =
E A 1
2 0 5 * 1 0 9 * 2 * 1 0 - 4
1
= ( - 1 . 2 0 + 1 . 0 8 ) * 1 0 - 3 = - 0 . 1 2 * 1 0 - 3 m ,
N 2 l 2 - 1 2 3 0 0 * 1
K
"2 = + µT "T l 2 = + 1 2 * 1 0 - 6 * 4 5 * 1 =
E A 2
2 0 5 * 1 0 9 * 2 * 1 0 - 4
0 . 1 2 * 1 0 - 3 m
= ( - 0 . 3 0 + 0 . 5 4 ) * 1 0 - 3 = 0 . 2 4 * 1 0 - 3 m .
P r z y k Ba d 9 . 8 . 1 7 . W y z n a c z y s i By w
o d k s z t a Bc a l n y c h p r t a c h u k Ba d u , k t ó r e
1
1 . 0 m
p o w s t a l y w w y n i k u b Be d u m o n t a |o w e g o .
P r t 1 w y k o n a n y z o s t a B z a k r ó t k i o " = 2
m m . Zr e d n i c e p r t ó w w y n o s z
2
1 . 0 m
o d p o w i e d n i o : d 1 = 1 . 0 c m i d 2 = 2 . 0 c m
"
a m o d u By Y o u n g a E 1 = E 2 = 2 0 5 G P a .
A
B
C
1 . 0 m 1 . 0 m
1 . 0 m
9 9
- 3
0 . 2 4 * 1 0
m
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
R o z w i z a n i e
N 2
N 1
U k Ba d j e s t j e d n o k r o t n i e s t a t y c z n i e
n i e w y z n a c z a l n y .
R ó w n a n i e r ó w n o w a g i :
H A
A B C
£ M = 0
A
V A
N 1 * 1 + N 2 * 2 = 0
1 . 0 m 1 . 0 m 1 . 0 m
1 2
R ó w n a n i e g e o m e t r y c z n e :
C
" 1
" - " "2
1
" B
= a l e "1 > 0 , a " < 0 s t d
" 2
2
1 2
"1 = "1 i " = - " ,
2 2
A B
C
z a t e m : "2 = - 2 ( " - " ) .
1
1 . 0 m 1 . 0 m 1 . 0 m
K o m p l e t r ó w n a D d o w y z n a c z e n i a s i B o s i o w y c h w o d k s z t a Bc a l n y c h p r t a c h u k Ba d u :
N 1 + 2 N 2 = 0
ñø
ôø
ëø öø
N 2 l 2 ìø N 1 l 1 ÷ø
òø
= - 2 ìø" -
ôø
E A 2 íø E A 1 ÷ø
øø
óø
N 1 + 2 N 2 = 0
ñø
ôø
ëø öø
N 2 2 N 1
.
òø
ìø2 * 1 0 - 3 ÷ø
-
ôø2 0 5 * 1 0 9 ( À 2 2 4 ) * 1 0 - 4 = - 2 ìø
2 0 5 * 1 0 9 ( À 1 2 4 ) * 1 0 - 4 ÷ø
íø øø
óø
S i By w p r t a c h w y n o s z : N 1 = 1 5 . 6 1 3 k N , N 2 = - 7 . 8 0 6 k N .
P r z y k Ba d 9 . 8 . 1 8 . W y z n a c z y s i By w
1
1 . 0 m
o d k s z t a Bc a l n y c h p r t a c h u k Ba d u , k t ó r e
p o w s t a l y w w y n i k u b Be d u m o n t a |o w e g o .
2
P r t 1 w y k o n a n y z o s t a B z a d Bu g i o " = 2
1 . 0 m
m m . Zr e d n i c e p r t ó w w y n o s z
C
o d p o w i e d n i o : d 1 = 1 . 0 c m i d 2 = 2 . 0 c m
a m o d u By Y o u n g a E 1 = E 2 = 2 0 5 G P a .
"
A
B
1 . 0 m 1 . 0 m
1 . 0 m
N 2
R o z w i z a n i e
N 1
U k Ba d j e s t j e d n o k r o t n i e s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n y .
A
R ó w n a n i e r ó w n o w a g i :
H A
B C
£ M = 0
A
V A
N 1 * 1 + N 2 * 2 = 0
1 . 0 m 1 . 0 m 1 . 0 m
1 0 0
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
R ó w n a n i e g e o m e t r y c z n e :
2
1
A " - " "2
C
1
= a l e "1 < 0 , a " > 0 s t d
2
1 2
" B " 2
"1 = - "1 i " = "
2 2
" 1
B
z a t e m
C
1 . 0 m 1 . 0 m 1 . 0 m
"2 = 2 ( " + " ) .
1
K o m p l e t r ó w n a D d o w y z n a c z e n i a s i B o s i o w y c h w o d k s z t a Bc a l n y c h p r t a c h u k Ba d u :
N 1 + 2 N 2 = 0
ñø
ôø
ëø öø
N 2 l 2 ìø N 1 l 1 ÷ø
òø
= 2 ìø" +
ôø
E A 2 íø E A 1 ÷ø
øø
óø
N 1 + 2 N 2 = 0
ñø
ôø
ëø öø
N 2 2 N 1
.
òø
ìø2 * ÷ø
ìø
ôø2 0 5 * 1 0 9 ( À 2 2 4 ) * 1 0 - 4 = 2 1 0 - 3 +
2 0 5 * 1 0 9 ( À 1 2 4 ) * 1 0 - 4 ÷ø
íø øø
óø
S i By w p r t a c h w y n o s z : N 1 = - 1 5 . 6 1 3 k N , N 2 = 7 . 8 0 6 k N .
S p r a w d zm y s p e Bn i e n i e w a r u n k u g e o m e t r y c z n e g o i n a s z k i c u j m y o b r a z k o n s t r u k c j i p o
d e f o r m a c j i .
N 1 l 1 - 1 5 6 1 3 * 2
"1 = = = - 1 . 9 3 9 4 * 1 0 - 3 m
E A 1
2 0 5 * 1 0 9 ( À1 2 4 ) * 1 0 - 4
N 2 l 2 7 8 0 6 * 1
"2 = = = 0 . 1 2 1 2 * 1 0 - 3 m
E A 2
2 0 5 * 1 0 9 ( À 2 2 4 ) * 1 0 - 4
2
1
0 , 0 6 0 6
A C
W a r u n e k g e o m e t r y c z n y m i a B p o s t a
"2 = 2 ( " + " ) i j a k Ba t w o s p r a w d z i
1 B
0 , 1 2 1 2
w y z n a c z o n e p r z e m i e s z c z e n i a g o s p e Bn i a j :
C
2 , 0 0 0 0
1 , 9 3 9 4
0 . 1 2 1 2 * 1 0 - 3 = 2 ( 2 - 1 . 9 3 9 4 ) * 1 0 - 3 m .
B
P r z y k Ba d 9 . 8 . 1 9 . W y z n a c z y s i By w o d k s z t a Bc a l n y c h p r t a c h 1 i 2 u k Ba d u p r z e g u b o w o -
p r t o w e g o j a k n a r y s . P o l a i c h p r z e k r o j ó w p o p r z e c z n y c h A 1 = A 2 = A , m o d u Bó w s p r |y s t o [c i
p o d Bu |n e j E 1 = E 2 = E .
3 0 k N m
2
2 m
B
±
2 0 k N / m
C
4 m
3 m
1
A
3 m
4 m
1 0 1
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
3 0 k N m
N 2
R o z w i z a n i e
U k Ba d j e s t j e d n o k r o t n i e s t a t y c z n i e
n i e w y z n a c z a l n y .
2 0 k N / m
R ó w n a n i e s t a t y k i :
4 m
3 m
N 1
= 0 ,
"M A
H A
N 1 * 3 + N 2 * 4 - 2 0 * 5 * 2 + 3 0 = 0 .
A
3 m 4 m
V A
Z p o k a z a n e g o o b o k p l a n u p r z e m i e s z c z e D
B
±
w y z n a c z y m y r ó w n a n i e g e o m e t r y c z n e .
s i n ± = 3 5 = 0 . 6
"
1
S z t y w n a r a m a B A C m o |e s i t y l k o
c o s ± = 4 5 = 0 . 8
B
o b r a c a w o k ó B p r z e g u b u A . Z a d a j c
C
w y d Bu |e n i e p r t a p i e r w s z e g o " , p r z y
1
±
n i e o d k s z t a Bc a l n y m p r c i e A B , o k r e [l a m y
Õ
±
4 m
"
3 m
p o Bo |e n i e p u n k t u B p o d e f o r m a c j i i t y m 2
Õ
s a m y m n a r z u c a m y , |e w s z y s t k i e p u n k t y
C
s z t y w n e j r a m y B A C o b r a c a j s i o t e n
s a m k t Õ , a t o d e f i n i u j e p o Bo |e n i e
A
p u n k t u C p o d e f o r m a c j i i w y d Bu |e n i e
3 m 4 m
p r t a d r u g i e g o " .
2
P o k a z a n y i o p i s a n y o b r a z p r z e m i e s z c z e D d a j e z a l e |n o [c i
t g Õ = B B ' A B , a p o n i e w a | d Bu g o [ A B = 5 m , a B B ' = " s i n ± , t o
1
t g Õ = " 3 .
1
R ó w n o c z e [n i e t g Õ = C C ' A C , i d a l e j A C = 5 m , C C ' = " 2 c o s ± , w i c
t g Õ = " 4 .
2
Z a t e m r ó w n a n i e g e o m e t r y c z n e m a p o s t a :
N 1 l 1 N 2 l 2
" 3 = " 4 ’! = 0 . 7 5 ’! N 1 = 0 . 3 7 5 N 2 .
1 2
E 1 A 1 E 2 A 2
U k Ba d r ó w n a D d o w y z n a c z e n i a s i B w p r t a c h p r z e d s t a w i a s i n a s t p u j c o :
3 N 1 + 4 N 2 = 1 7 0
ñø
.
òø
N 1 = 0 . 3 7 5 N 2
óø
S i By w p r t a c h p o d a n e g o u k Ba d u p r t o w e g o w y n o s z : N 1 = 1 2 . 4 3 9 k N , N 2 = 3 3 . 1 7 0 k N .
1 0 2
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
P r z y k Ba d 9 . 8 . 2 0 . W y z n a c z y n a p r |e n i a
4 0 k N
n o r m a l n e w o d k s z t a Bc a l n y c h p r t a c h 1 i 2
2
1 . 5 m
2 0 k N / m
p o t r z y m u j c y c h s z t y w n t a r c z A B C
p o k a z a n n a r y s . P o l e p r z e k r o j u
C
3 0 k N m
p o p r z e c z n e g o p r t a 2 o r a z p r t a 1 n a
1 . 5 m
F
D G
o d c i n k u D F w y n o s i A = 2 c m 2 , p o l e
2
p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o p r t a 1 n a
1
1 5 k N
1 . 5 m
o d c i n k u F G j e s t r ó w n e A = 2 A .
1 2
B
A
M o d u B Y o u n g a m a t e r i a Bu o b u p r t ó w
w y n o s i E .
4 m
1 . 5 m 1 . 5 m
R o z w i z a n i e
4 0 k N
N 2
2 0 k N / m
U k Ba d j e s t j e d n o k r o t n i e s t a t y c z n e
C 3 0 k N m
n i e w y z n a c z a l n y .
N 1 D F F G
R ó w n a n i e r ó w n o w a g i :
3 m
X = 0 ,
"
1 5 k N
B
A
- N 1 D F - N 2 2 - 1 5 + 2 0 * 3 = 0 .
V A V B
4 m
4 5 °
P o k a z a n y o b o k p l a n p r z e m i e s z c z e D
"
2
1
C
p o z w a l a w y z n a c z y r ó w n a n i e
C
g e o m e t r y c z n e . S z t y w n a t a r c z a A B C
"
2
m o |e p r z e m i e s z c z a s i t y l k o p o z i o m o .
1
Z a d a j c w y d Bu |e n i e p r t a p i e r w s z e g o
G G
" , d e f i n i u j e m y p o Bo |e n i e w s z y s t k i c h j e j
1
B
B
p u n k t ó w a t o o k r e [l a w y d Bu |e n i e p r t a
d r u g i e g o " .
2
A A
Z a t e m r ó w n a n i e g e o m e t r y c z n e m a p o s t a :
" = 2 " .
1 2
P r t p i e r w s z y j e s t o b c i |o n y s i B o s i o w 1 5 k N w p o Bo w i e s w e j d Bu g o [c i i d o d a t k o w o m a
z m i e n n y p r z e k r ó j w i c j e g o w y d Bu |e n i e j e s t r ó w n e :
N 1 D F * 1 . 5 ( N 1 D F + 1 5 ) * 1 . 5
" = + , i r ó w n a n i e g e o m e t r y c z n e j e s t n a s t p u j c e :
1
E A 2 E * 2 A 2
N 1 D F * 1 . 5 ( N 1 D F + 1 5 ) * 1 . 5 N 2 * 1 . 5
+ = 2 .
E A 2 E * 2 A 2 E A 2
U k Ba d r ó w n a D d o w y z n a c z e n i a s i B w p r t a c h m a p o s t a :
1 0 3
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
ñø
N 1 D F + N 2 2 = 4 5
.
òø
óø2 . 2 5 N 1 D F + 1 1 . 2 5 = 1 . 5 * 2 N 2
S i By w p r t a c h p o d a n e g o u k Ba d u p r t o w e g o m a j w a r t o [c i : N 1 D F = 2 3 . 5 7 1 k N , N 2 = 3 0 . 3 0 5
k N , N 1 F G = 3 8 . 5 7 1 k N .
N a p r |e n i a n o r m a l n e w y n o s z :
w p r c i e 1
2 3 . 5 7 1 * 1 0 3
n a o d c i n k u D F Ã = = 1 1 7 . 8 5 5 M P a ,
2 * 1 0 - 4
3 8 . 5 7 1 * 1 0 3
n a o d c i n k u F G Ã = = 9 6 . 4 2 8 M P a ,
4 * 1 0 - 4
w p r c i e 2
3 0 . 3 0 5 * 1 0 3
à = = 1 5 1 . 5 2 5 M P a .
2 * 1 0 - 4
P r z y k Ba d 9 . 8 . 2 1 . W y z n a c z y w y k r e s y N ( x ) , u ( x ) i à ( x ) w p r c i e o b c i |o n y m o s i o w o i
x
z a m o c o w a n y m m i d z y n i e o d k s z t a Bc a l n y m i [c i a n a m i j a k n a r y s u n k u .
P G
H G D a n e :
H A u P
P = 1 0 0 k N , a = 2 c m ,
D
x B C a
A
E = 2 0 5 G P a
2 a
1 . 5 m 1 . 5 m
1 . 5 m
1 . 5 m
R o z w i z a n i e
K o n s t r u k c j a j e s t j e d n o k r o t n i e s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n a .
R ó w n a n i e r ó w n o w a g i :
£ X = 0 ’! H - P + P + H G = 0 ’! H + H G = 0
A A
R ó w n a n i e g e o m e t r y c z n e :
" l A G = 0 ’! " l A B + " l B C + " l C D + " l D G = 0 ’!
N l A B N B C l B C N C D l C D N D G l D G
A B
+ + + = 0 ’!
E A A B E A B C E A C D E A D G
- H * 1 . 5 ( - H + P ) * 1 . 5 ( - H + P ) * 1 . 5 ( - H + P - P ) * 1 . 5
A A A A
+ + + = 0
E ( 2 a ) 2 E ( 2 a ) 2 E a 2 E a 2
W w y n i k u r o z w i z a n i a t e g o u k Ba d u r ó w n a D o t r z y m u j e m y : H = 5 0 . 0 k N i H G = - 5 0 . 0 k N .
A
W a r t o [c i s i B p o d Bu |n y c h s r ó w n e :
N = - 5 0 . 0 k N , N B C = 5 0 . 0 k N , N C D = 5 0 . 0 k N , N D G = - 5 0 . 0 k N .
A B
W a r t o [c i n a p r |e D n o r m a l n y c h à w y n o s z :
x
1 0 4
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
à = - 3 1 . 2 5 M P a , à = 3 1 . 2 5 M P a , à = 1 2 5 . 0 0 M P a , à = - 1 2 5 . 0 0 M P a .
x A B x B C x C D x D G
W a r t o [c i w y d Bu |e D p o s z c z e g ó l n y c h o d c i n k ó w p r t a w y n o s z :
N l A B - 5 0 * 1 0 3 * 1 . 5
A B
" l A B = = = - 0 . 2 2 9 * 1 0 - 3 m = - 0 . 2 2 9 m m
E A A B
2 0 5 * 1 0 9 * 1 6 * 1 0 - 4
N l B C 5 0 * 1 0 3 * 1 . 5
B C
" l B C = = = 0 . 2 2 9 * 1 0 - 3 m = 0 . 2 2 9 m m
E A B C
2 0 5 * 1 0 9 * 1 6 * 1 0 - 4
N C D l C D 5 0 * 1 0 3 * 1 . 5
" l C D = = = 0 . 9 1 5 * 1 0 - 3 m = 0 . 9 1 5 m m
E A C D
2 0 5 * 1 0 9 * 4 * 1 0 - 4
N D G l D G - 5 0 * 1 0 3 * 1 . 5
" l D G = = = - 0 . 9 1 5 * 1 0 - 3 m = - 0 . 9 1 5 m m
E A D G
2 0 5 * 1 0 9 * 4 * 1 0 - 4
" l A G = ( - 0 . 2 2 9 + 0 . 2 2 9 + 0 . 9 1 5 - 0 . 9 1 5 ) * 1 0 - 3 = 0
W y k r e s y p o s z u k i w a n y c h w i e l k o [c i :
P
P
u
x
G
A B D
C
1 . 5 m 1 . 5 m
1 . 5 m
1 . 5 m
N ( x )
x
N ( x )
k N
à ( x )
x
à ( x )
x
x
M P a
u ( x )
x u ( x )
m m
1 0 5
5 0
5 0
1 2 5 . 0
3 1 . 2 5
3 1 . 2 5
1 2 5 . 0
0 . 2 2 9
0 . 9 1 5
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
P r z y k Ba d 9 . 8 . 2 2 . S Bu p |e l b e t o w y o p r z e k r o j u 0 . 4 x 0 . 4 m i z b r o j e n i u 8 ø 2 2 m m o b c i |o n y j e s t
o s i o w s i B [c i s k a j c P = 3 0 0 0 k N . W y z n a c z y n a p r |e n i a w s t a l i z b r o j e n i o w e j i b e t o n i e
j e [l i m o d u By Y o u n g a s t a l i E s = 2 0 5 G P a i b e t o n u E b = 3 2 . 5 G P a .
A b = 0 . 4 * 0 . 4 = 1 6 0 0 * 1 0 - 4 m 2
P
A s = 3 0 . 4 1 * 1 0 - 4 m 4
l
R o z w i z a n i e
P r z y z a Bo |e n i u p e Bn e j p r z y c z e p n o [c i s t a l i i b e t o n u z a d a n i e
j e s t j e d n o k r o t n i e s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n e . R ó w n a n i e
0 . 4 m r ó w n o w a g i w k t ó r y m N b s i Ba p r z e n o s z o n a p r z e z b e t o n ,
a N s s i Ba p r z e n o s z o n a p r z e z s t a l m a p o s t a :
N b + N s = P
W a r u n e k g e o m e t r y c z n y , k t ó r y w y n i k a z z a Bo |o n e j p r z y c z e p n o [c i m ó w i o r ó w n o [c i
p r z e m i e s z c z e D w o b u e l e m e n t a c h s k Ba d o w y c h k o n s t r u k c j i :
" l b = " l s .
S t d k o m p l e t r ó w n a D d o w y z n a c z e n i a s i B o s i o w y c h j e s t n a s t p u j c y :
N b + N s = P ñø
ñø
N + N = 3 0 0 0 * 1 0 3
b s
ôø
ôø
N b l N s l
N N
’! .
òø òø b s
= =
ôø
ôøE b A b E s A s
3 2 . 5 * 1 0 9 * 1 6 0 0 * 1 0 - 4 2 0 5 * 1 0 9 * 3 0 . 4 1 * 1 0 - 4
óø
óø
W w y n i k u r o z w i z a n i a o t r z y m u j e m y : N b = 2 6 7 8 . 8 4 k N ; N s = 3 2 1 . 1 6 k N , i o b i e s i By s
[c i s k a j c e .
N a p r |e n i a [c i s k a j c e w b e t o n i e i s t a l i s r ó w n e :
N b 2 6 7 8 . 8 4 * 1 0 3 N s 3 2 1 . 1 6 * 1 0 3
à = = = 1 6 . 7 4 M P a , à = = = 1 0 5 . 6 1 M P a .
b s
A b 1 6 0 0 * 1 0 - 4 A s 3 0 . 4 1 * 1 0 - 4
P r z y k Ba d 9 . 8 . 2 3 . J a k z m i e n i a s i s t o s u n e k e n e r g i i o d k s z t a Bc e n i a o b j t o [c i o w e g o U V i e n e r g i i
o d k s z t a Bc e n i a p o s t a c i o w e g o U f d o c a Bk o w i t e j e n e r g i i U w z a l e |n o [c i o d w a r t o [c i l i c z b y
P o i s s o n a ½ w o s i o w o r o z c i g a n y p r c i e p r y z m a t y c z n y m .
R o z w i z a n i e
N
N
à , 0 , 0
ëø öø
x
ìø ÷ø
T Ã = 0 , 0 , 0 ÷ø .
ìø
ìø
0 , 0 , 0 ÷ø
íø øø
N 1 - 2 ½ 1 + ½
2 2
à = ; ¦V = à ; ¦ = à .
x x f x
A 6 E 3 E
1 0 6
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . O s i o w e r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e
2
1 - 2 ½ 1 + ½ Ã
2 2 x
U V = d V = Ã V ; U = d V = Ã V ; U = U V + U = V .
V x f f x f
+"¦ +"¦
6 E 3 E 2 E
V V
k f , k V
1 . 0
U
U V 1 2 k f
f
k V = = ( 1 - 2 ½ ) , k = = ( 1 + ½ )
f
2 / 3
U 3 U 3
1 / 3
k V
½
0 . 2 5 0 . 5 0
P r z y k Ba d p o k a z u j e , |e w a n a l i z o w a n y m p r z y p a d k u :
" i l o [ e n e r g i i , k t ó r a z u |y w a n a j e s t n a z m i a n p o s t a c i z a w s z e j e s t w i k s z a o d t e j , k t ó r a
z u |y w a n a j e s t n a z m i a n o b j t o [c i ,
" w m a t e r i a Ba c h n i e [c i [l i w y c h ( ½ = 0 . 5 ) , c a Ba p r a c a s i B z e w n t r z n y c h z u |y w a s i n a z m i a n
p o s t a c i .
P r z y k Ba d 9 . 8 . 2 4 . O b l i c z y z m i a n o b j t o [c i "V r o z c i g a n e g o o s i o w o s i B N p r t a o d Bu g o [c i
l i p o l u p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o A w y k o n a n e g o z m a t e r i a Bu o s t a By c h s p r |y s t y c h E o r a z ½ .
R o z w i z a n i e
W z g l d n a z m i a n a o b j t o [c i w p u n k c i e o k r e [l o n a w z o r e m ( 6 . 1 9 ) w y n o s i :
D = µ + µ + µ .
x y z
A b y o t r z y m a c a Bk o w i t z m i a n o b j t o [c i c i a Ba n a l e |y w y k o n a c a Bk o w a n i e p o j e g o o b j t o [c i
"V = d V = ( µ + µ + µ ) d V .
x y z
+"+"+"D +"+"+"
V V
W r o z w a |a n y m p r z y p a d k u p r t a r o z c i g a n e g o o s i o w o s t a B s i B N , o t r z y m u j e m y :
N N l
"V = ( µ + µ + µ ) d V = ( 1 - 2 ½ ) V = ( 1 - 2 ½ ) .
x y z
+"+"+"
E A E
V
W i z o t r o p o w y c h l i n i o w o s p r |y s t y c h m a t e r i a Ba c h l i c z b a P o i s s o n a z a w i e r a s i w g r a n i c a c h
0 d" ½ d" 0 . 5 , w i c p r t r o z c i g a n y o s i o w o w y k o n a n y z t a k i e g o m a t e r i a Bu z w i k s z a s w o j
o b j t o [.
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