4. ZAGADNIENIA ŚCISKANIA I ROZCI
GANIA OSIOWEGO
Ze stanem ściskania (lub rozciągania) mamy do czynienia wtedy, gdy na pręt działa jedynie
siła osiowa przyło\
ona w środku cię\
kości pręta. Je\
eli pręt poddany działaniu siły osiowej
ma stały przekrój, to poszczególne przekroje poprzeczne pozostają płaskie po odkształceniu
(jeśli materiał jest izotropowy) i naprę\
enia normalne są stałe. Lokalne zmiany kształtu pręta
prowadzą do powstania koncentracji naprę\
eń. Stosując model materiału liniowo sprę\
ystego
obliczamy naprę\
enia jako:
N "l
� = = E �"� = E �" .
A l
N �" l
Wydłu\
enie pręta obliczamy jako "l = . Odkształcenia w kierunkach poprzecznych do
EA
osi pręta obliczamy jako: � = -�� ,� = -�� . Dla materiałów o liczbie Poissona � > 0 przy
y x z z
rozciąganiu pręta otrzymujemy zwę\
enie części środkowej pręta. Oczywiście dla ciała
1
izotropowego mamy � "< 0, > (materiał idealnie ściśliwy, materiał nieściśliwy).
2
N
N
W niektórych zastosowaniach praktycznych stosuje się model biliniowy określony jako
E �"� , � d" �
ńł
0
�ł
� =
�łE �"� + � �ł1- E�
�ł, � e" �
�ł �ł
� 0 0
�ł
E
�ł łł
ół
E
E
45
lub te\
modele hipo- lub hipersprę\
yste. Materiał w stanie sprę\
ystym powraca do swojego
pierwotnego kształtu po usunięciu wszystkich obcią\
eń. W dalszej analizie będziemy
posługiwali się równie\
modelami sprę\
ysto-plastycznymi, w których występują odkształcenia
trwałe. Do analizy materiałów, których własności zmieniają się w czasie (z reguły maleją
wraz z upływem czasu) stosuje się modele lepko-sprę\
yste lub modele lepko-sprę\
ysto-
plastyczne oraz lepko-plastyczne.
Polecenie. Na podstawie literatury dokonaj klasyfikacji materiału na podstawie wykresu
naprę\
enie-odkształcenie.
�
� �
� � �
� � �
� �
�
�
�
Bardzo często rozwiązując problemy z zakresu ściskania i rozciągania mo\
emy uwzględniać
błędy monta\
owe, jakie zdarzają się w rzeczywistych konstrukcjach; analizujemy
równie\
wpływ temperatury na odkształcenia układu wywołany ogrzaniem lub schło-
dzeniem jednego z prętów. Błędy monta\
owe to odchyłki wymiarowe spowodowane
niedokładnym zestawieniem (połączeniem) odpowiednich elementów konstrukcji (wybrane
pręty są zbyt długie lub za krótkie w stosunku do pozostałych). Błędy te wywołują naprę\
enia
wstępne, które mogą pogorszyć wytrzymałość i niezawodność konstrukcji. Jak mo\
na się
46
przekonać, w konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych nawet nieznaczne błędy monta\
owe
mogą spowodować znaczne naprę\
enia i odkształcenia. Z drugiej strony w konstrukcjach
i elementach konstrukcyjnych o znacznych rozmiarach stosuje się świadomie tzw. dylatacje,
czyli otwory lub przerwy, które mają za zadanie zmniejszenie pojawiających się w nich
odkształceń termicznych.
Wpływ temperatury mo\
na pokazać na przykładzie pręta w temperaturze 0o o długości l0 , przy
wzroście temperatury od t1 do t2 ; jego długość zmienia się od l1 do l2 , a średnim
współczynnikiem rozszerzalności liniowej nazywamy iloraz
l2
1 - l1
ą1,2 = �" .
l0 t2 - t1
Oznaczając l1-l2 = "l , t1-t2 = "t , ą1,2 = ą, otrzymujemy "l = l0ą"t, � = ą"t.
Wyprowadz
my kolejno równania równowagi przy ściskaniu i/lub rozciąganiu dla pręta
obcią\
onego cię\
arem własnym i siłą podłu\
ną.
ł
�
�+ �
Suma rzutów na oś x dla elementarnego odcinka jest następująca:
A(� + d� )+ Adxł - A� = 0,
Ad� + Adxł = 0,
d� = -dxł .
Stałą C wyznaczamy z warunku brzegowego:
47
x
� = = łdx = -łx + C,
+"d� +"-
0
P
� = = -łl + C,
x=l
A
P
C = + łl,
A
P P
� (x) = � = -łx + + łl = ł (l - x)+ .
A A
Odkształcenie natomiast wynosi
�(x) P ł
�(x) = = + (l - x).
E AE E
Całkowite wydłu\
enie pręta jest równe
l l
2 2 2
P ł Pl łl łl Pl łl
�ł
 =
�ł
+"�(x)dx = +"�ł AE + E (l - x)�łdx = EA + E - 2E = EA + 2E .
�ł łł
0 0
Problem 4.1. Znalez
ć reakcje w poni\
szym układzie statycznie-niewyznaczalnym.
R1 R2
"
Rozwiązanie. Zapisujemy równanie równowagi sił podłu\
nych:
= 0; R1 + R2 = 0
"Py
oraz równanie geometryczne opisujące przyrosty długości poszczególnych prętów
"l1 + "l2 + ąt "t �"(l + l) = 0
.
R1l R1l
+ + ąt"t �" 2l = 0
2EA EA
Obliczamy kolejno pierwszą reakcję
3 R1l
= -ąt"t �" 2l
2 EA
EA 4 4EAąt "t
R1 = - �" ąt"t �" l = -
l 3 3
2Eąt"t
i obliczamy naprę\
enie normalne w tym pręcie �1 = - . Kolejno dla drugiego pręta
3
48
4EAąt "t 4Eąt "t
R2 = -R1 = ; � = - .
2
3 3
W obu częściach struktury prętowej mamy więc ściskanie.
Problem 4.2. Znalez
ć reakcje w następującym układzie statycznie niewyznaczalnym.
�
R1 R2
Rozwiązanie. W pierwszej kolejności znajdujemy reakcje z następujących równań:
= 0; R1 + R2 = 0
"Py
"l1 + "l2 - � = 0
R1l R1l 3R1l
.
+ - � = 0 = �
2EA EA 2EA
2EA�
R1 = = -R2
3l
N
W dalszej kolejności obliczamy naprę\
enia w prętach ze wzoru � = jako
A
2 �
�1 = -� = E .
2
3 l
� kN
Dla wartości parametrów E = 210GPa, = 10-3 obliczamy �1 = � = 0,14GPa = 14 .
2
l cm2
Jak widać zamontowanie zbyt krótkiego pręta powoduje powstanie rozciągających naprę\
eń
wstępnych w całym układzie prętowym.
Problem 4.3. Znalez
ć reakcje dla następującego układu.
Rozwiązanie. Z równania równowagi mamy : R1 = P + R2 , natomiast z odkształceń wynika,
\
e "l1 + "l2 = 0 , a więc
R1l1 Pl2 R1l1
"l1 = - ,"l2 = - .
EA1 EA2 EA2
49
Sumując otrzymujemy
Pl2 R1l2 R1l1 Pl2 A1 Pl1A2
- - = 0 �! R1 = ; R2 = - .
EA2 EA2 EA1 A2l1 + A1l2 A2l1 + A1l2
R2
l2
EA
2
P
l1
EA
1
R1
Problem 4.4. Znalez
ć siły wewnętrzne w następującym układzie statycznym.
S1
S1
2 E , A
V
S2 S2 E, A P
u
E , A
S3
S3
Rozwiązanie. Układ tak samo jak w poprzednich problemach jest statycznie niezwyzna-
czalny. W odró\
nieniu jednak od poprzednich przykładów zawiera pręty niewspółliniowe,
więc równania geometryczne muszą zawierać stopnie swobody, jakie posiada węzeł
50
obcią\
ony siłą P  niech będą to przemieszczenie poziome u oraz przemieszczenie pionowe v.
Zapisujemy kolejno związki fizyczne i geometryczne. Otrzymujemy
ńł
S1 2l EA"l1
S1 = u
ńł"l = - v
�ł"l =
1
l
2EA 1
�ł
�ł
2 2
�ł
�ł
S2l EA"l2
�ł"l = S2 = �ł
, .
�ł �ł"l = u
2 2
EA l
�ł �ł"l = v
3
�ł S3l EA"l3 �ł
�ł
3
�ł"l = EA S3 = l
ół
�ł
ół
Równania równowagi pozwalają obliczyć
S1
"Py = 0;-S3 - P + 2 = 0
,
S1
"Px = 0;-S2 - 2 = 0
co po podstawieniu daje
EA"l3 EA"l1
- - P + = 0
l
2l
.
EA"l2 EA"l1
- - = 0
l
2l
Wyra\
ając te równania przez przemieszczenia u i v otrzymujemy:
3 u Pl u v
- v + = ; - u - + = 0 .
2 2 EA 2 2
Stąd wyznaczamy poszukiwane przemieszczenia:
Pl 3Pl
u = - , v = -
4EA 4EA
oraz siły
EA Pl 2 2 P 2 3P
�ł- �ł�ł - 3 �ł = , S2 = - P
�ł
S1 = , S3 = - .
�ł �ł�ł
�ł
l 4EA 2 2 4 4 4
�ł łł�ł
�ł łł
Problem 4.5. Znalez
ć siły wewnętrzne w podanym układzie statycznie niewyznaczalnym.
Rozwiązanie. Z geometrii układu wynika, \
e jedynym stopniem swobody jest obrót względem
podpory o kąt Ć. A zatem z podobieństwa trójkątów obliczamy
"l1 "l2 S1l S2l
= 2"l1 = "l2 ; 2 = - bo "l2 < 0 .
l 2l EA EA
51
S2
S
1
S S
1 2
E,A E,A
B l
2
l
1
R
Stąd wynika, \
e
2S1 + S2 = 0
1
ŁM = 0; S1l - S2 2l - 3ql l = 0
B
2
3
S1 - 2S2 = - ql.
2
Rozwiązaniem tego zadania są następujące wielkości:
3 3
S1 = - ql, S2 = ql .
10 5
Z = 0 obliczamy:
"Py
3 3 27
R + S1 + S2 - 3ql = 0 �! R - ql + ql - 3ql = 0 �! R = ql .
10 5 10
Problem 4.6. Znalez
ć siły w prętach dla następującego układu.
�
H
A
S2
�l
EA
�l
2�l
EA
S1
S3
EA
5�l
52
Rozwiązanie. Zapisujemy warunki równowagi:
2 2
- S1 + S2 + S3 = 0,
"Px = 0; H A
2 2
"Py = 0; P + S1 22 - S2 22 = 0,
2
= 0; S1l - S2l 2 - S3 2l + Pl = 0.
"M A
2
Warunki geometryczne otrzymujemy na podstawie następującego schematu:
2 2 2 2l
"l1 = -u - �l ;"l2 = u + �l 2;"l3 = �l 5 �" = 2�l ,
2 2 2
l 5
stąd
2
"l1 + "l2 = �l i "l3 = 2�l ,
2
zatem
2
"l1 + "l2 = "l3 .
4
Związki fizyczne:
S1l1 S1l 2 S2l2 S2l 2 S3l3 S3l
"l1 = = ;"l2 = = ;"l3 = = .
E1 A1 EA E2 A2 EA E3 A3 EA
Podstawiając otrzymujemy:
S1l 2 S2l 2 S3l 2 S3
+ = lub S1 + S2 - = 0 .
EA EA EA 4 4
Mamy:
S1 - S2 = -P,
2
S1 - S2 2 - 2S3 = -P, .
2
1
S1 + S2 - S3 = 0.
4
53
Problem 4.7. Obliczyć siły w prętach dla następującego układu.
S + 2lA
2 V
EA
t
t
S
2
"
V
1
EA
S
1
t
EA,
Rozwiązanie. W rozwiązaniu ograniczymy się jedynie do podania podstawowych równań
pozostawiając czytelnikowi dokładne ich rozwiązanie. Otrzymujemy następujące związki
fizyczne:
2
ł (2l) S12l
"l1 = -v1 = - + ,
2E EA
2
2 2 2
ł (2l) S2 2l 2łl 4łl 2łl
"l2 = v1 - v = + ąt"t2l + = + ąt"t2l - = 2ąt"tl - ,
2E EA E E E
S3 2l
"l3 = " - v1 = + ąt"t2l,
EA
S2 = -ł �" 2l �" A.
Odpowiednie równanie równowagi ma następującą postać:
"Piy = 0;-S1 + S2 - S3 = 0 .
54