8416072468

Ze wzorów (1.10) i (1.11) wynika następujące oszacowanie błędu interpolacji Lagrange’a w zależności od h:

To oszacwanie ma następującą wadę: liczba węzłów jest związana z regularnością funkcji /. Zatem rząd pochodnej dąży do oo, gdy liczba węzłów dąży do oo.

3. Niech L_n będzie operatorem (funkcją) przyporządkowującym funkcji / G C([a,b]) jej wielomian interpolacyjny Lagrange’a dla danego, ustalonego układu n + 1 węzłów:

Ln : / - Pn.

Łatwo zauważyć, że jest to operator liniowy (dlaczego?). Przypuśćmy, że rozważamy ciąg układów n+ 1 węzłów:

a <    < X™ < • • • <    < b.

Pytanie Czy dla każdego / G C([a, b])

(1.12)    \\L_nf - /IkM - 0

gdy n —► oo, przy dowolnym ciągu układów węzłów.

Jest to pytnie o zbieżność interpolacji Lagrange’a dla dowolnej funkcji ciągłej /. Okazuje się, że w przestrzeni C([a,b]) zależność (1.12) nie zachodzi przy dowolnie wybranym ciągu układów węzłów, bez dodatkowych założeń o funkcji /. Inaczej mówiąc interpolacja Lagrange’a nie jest aproksymacją zbieżną w przestrzeni C([a,b]).

Wzór (1.9) i oszacowanie (1.10) zakładają, że funkcja / ma tyle pochodnych ciągłych, ile wynosi liczba węzłów interpolacji. Nasuwa się naturalne pytanie, co można powiedzieć o błędzie interpolacji Lagrange ’a jeśli f ma mniej pochodnych ciągłych niż liczba węzłów interpolacji. Można na nie odpowiedzieć wykorzystując Twierdzenie Jacksona. To twierdzenie podaje oszacowanie błędu dla wielomianu najlepszej aproksymacji stopnia < n w sensie

11