9414912642

Wykorzystując monotoniczność miary zewnętrznej (zobacz Twierdzenie 3.1 (iv)) oraz kładąc w warunku (AA) Z = X dla n = 1,2,3,... otrzymujemy

M (U a) > M ( U A.) =/.^>(xnUi) =

= EM(XnA,) = |>*(A),

tj.

M (0 A^ > EM(A)-

Przykładając do obu stron powyższej nierówności granicę przy n —> oo dostajemy

m(u a.) > EM(A),

skąd

(□□)    a(uaWema).

Z (□) i (□ □) dostajemy

MU A) = EMA).

n=l    n=l

tj. n jest miarą.

Jeśli teraz założymy, że n(A) = 0 i weźmiemy dowolny zbiór B C A, to 0 < n*(B) < n*(A) = n(A) = 0,

skąd    — 0 i na mocy (ii) dostajemy, że B G 9J1. Funkcja /i jest miarą zupełną. ■

Uwaga 3.1 (równoważna definicji miary zewnętrznej) Funkcjęn* przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę fi*(A) e [0, +oo] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X) nazywamy miarą zewnętrzną jeśli:

(i)    MW = 0,

(ii)    A (Ac B => fi‘(A) < M(^b)).

A,B CX

(iii)    A /*-( u A_n) < £ M(A).

A\,A2,A3,...C.X    n—1    Tl—1

7