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(T)	Ay	Si	nt + p = i	tli —(— Cl, alors	on a: p =	q ou bien: p ni
•< m.
(T)	A2»	Si	m -|~ m <	m -j- n, alors	m <C n.
(T)	Ay	Si	m < n, le	nombre Cardinal n —		m existe.
(T)	A\*	Si	p^m < q^m,	on a: p < (].
(T)	^5*	Si	ni^p < ni^q «	et m=ł=0, on	a: p < q.
(L)	^6"	m	<!* n ou bien n <[* ni.
(T)	Ar	Si	{Mk} est	une suitę d	^łensembles disjoints non-

vides et N—un ensemble arbitraire de puissance plus petite que

oo

celle de il M._} alors il existe un nombre naturel / fel que N est

k=o

/

de puissance plus petite que celle de X M_k.

*= o

II importe de remarquer qu’a proprement parler, l’equiva-lence entre les propositions A₁—A_e et l’axiome du choix ne

peut etre fondee que sur la base du systeme de M. Z e r m e 1 o. Dans le systeme de MM. Russell et Whitehead, resp. dans 1’Ontologie de M. Leśniewski, on peut montrer que ces propositions, formulees relativement aux nombres cardinaux d’un certain rang, impliquent l’axiome du choix pour les ensembles d’un autre rang* et reciproquement; cependant, comme il nous semble, on ne saurait etablir d’equivalence complete entre l’axio-me du choix et aucune des propositions A_x—A_ó, si Ton voulait

leur attribuer des rangs tout a fait determines. Des remarques analog-ues se rapportent a quelques-uns parmi les resultats sui-vants (th. 83, 94—96). Enfin, quant a l’equivalence de la pro-position A-j avec l’axiome du choix, nous constatons que la de-monstration ne reussit qu’a la base des axiomes de Zermelo-FrankeL

II est a observer que, par opposition a A₂ qui equivaut

a l’axiome du choix, la proposition analogue concernant la rela-tion > (si m -f-m> nt-f-it, alors m>it), de meme que la proposition inverse a A₂ (si m < it, alors m -j-    < ni -(- n) sont de-

montrables sans 1’aide de cet axiome.

Parmi les propositions dont le rapport avec l’axiome du choix n’est elucide jusqu’a present, citons les suivantes: