2371743693

1.2. Przykłady Gier 13

b > a,c > a,d < b. Czyste RN: (A,P), (Poćwiczenie 1.2. 3-osobowy PD: każdy z 3 graczy ma 2 akcje: C lub D.

(C,C,C) => (R, R,R), (D,D,D) =► (P,P,P),

(C, D, D) =*• (S, P', P'), (C, C, D) => (i?', R',T), T > R > P > S, T > P' > P, R> R¹. Jedyna równowaga Nasha to (D, D, D).

Ćwiczenie 1.3. 3-osobowa Gra Zamieć Śnieżna

Praca wymagana do odśnieżenia: c. Wypłaty: (CCC) : (b — c/3,6 — c/3, b — c/3), (CCD) : (b—c/2,b—c/2,b), (CDD) : (b—c,b,b),(DDD) : (c/3, c/3, c/3) (defektorzy zachowują energię). Jedyna czysta RN: (DDD). Rozważyć modyfikację: (DDD) — (0,0,0). Są wtedy 3 RN czyste.

Ćwiczenie 1.4. 3-osobowa Gra na Mniejszość (Minority Gamę)

3 graczy wybiera jednocześnie jedną z opcji: A lub B. Wygrywa gracz który jest w mniejszości. Macierz gry - 3 ”kostki gry”. Można zróżnicować wyniki (wypłaty) w zależności czy się wybrało opcję tę samą co 1 czy 2 pozostali gracze. Uogólnienie - 2k + 1 - osobowa gra na mniejszość.

Ćwiczenie 1.5. Dylemat podróżnika (Traveller’s Dilemma)

Linia lotnicza zgubiła 2 identyczne walizki, należące do 2 podróżnych. Linia oferuje odszkodowanie, ale nie większe niż K $. Podróżni proszeni są niezależnie od siebie o napisanie kwoty jakiej oczekują jako odszkodowanie, nie mniejszej niż 2 $ i nie większej niż K $. Jeśli napiszą taką samą kwotę, obaj otrzymają odszkodowanie tej wysokości, jeśli różne, to zostanie uznana niższa kwota i ten kto napisze niższą kwotę, dostanie dodatkowo 2 $, a drugi straci 2 $ ze swojego odszkodowania.

Dla K — 3 $ gra jest dylematem więźnia. Dylemat podróżnika jest uogólnieniem DW.

Jeśli przewidujemy że przeciwnik napisze wartość K $, najbardziej opłaca nam się napisać K — 1 $. Nasza nagroda wyniesie wtedy K +1 $. Jeśli jednak przeciwnik przewidzi, że będziemy chcieli napisać K — 1 $, sam napisze K — 2% (jego nagroda wyniesie wtedy K $, a nasza K — 4 $ itd. Napisanie kwoty 2 $ jest więc strategią dominującą. Jedyna RN to para (2,2) $.

Ćwiczenie 1.6. Gra Banacha (Stanisław Mazur, 1935)

2 graczy, A C [0,1] -ustalony. Gracz 1-y wybiera cyfrę oi, 2-i 02, 1-y 03 itd w nieskończoność. Powstaje rozwinięcie dziesiętne x = 0.010203.... jeśli x € A to wygrywa 1-y, wpp 2-i. Podaj przykłady strategii wygrywających dla różnych A.

Nazwijmy A C [0,1] zbiorem zdeterminowanym jeżeli 1-y lub 2-i gracz ma strategię wygrywającą. Wiele "spotykanych na codzień” podzbiorów [0,1] jest zdeterminowanych. Pewnik wyboru implikuje istnienie zbiorów niezdeterminowanych. Jest to gra ekstensywna z nieskończonym horyzontem czasowym. Szerzej o pewnych związkach pomiędzy teorią mnogości a TG - patrz np. rozdz. 40 w [14].