2371743699

2-4- Dominacje strategii 19

Mówimy że odpowiednie strategie rji sa ściśle (słabo) zdominowane przez powyższe strategie <7j. Strategia jest słabo zdominowana jeżeli istnieje inna która ją słabo dominuje.

Przykład 2.5. W DW (czysta) strategia D (i.e. <7; = (0,1), i = 1,2) ściśle dominuje każdą inną strategię gracza i.

Przykład 2.6. W Słabym DW

	C	D
c	R,R	S,T
D	T,S	s,s

T > R > S, strategia D nie dominuje ściśle strategii C gracza. Mamy bowiem np. dla i — 1-ego gracza, oznaczając <72 = (0, 1 — 0):

_Ul(D,a₂)=(3T+{l-0)S,

_Ul(C,(T2) = 0R+(l-0)S,

a zatem dla 0 = 0, czyli dla <72 = (0,1), zachodzi równość U\(D, <72) = u\{C, <72).

Przykład 2.7. W Słabym DW (czysta) strategia (j\ = D słabo dominuje strategię T)\ = C 1-go gracza. Mamy bowiem, dla i = 1, <7_j = <72    (0,1 — 0), z liniowości,

U\{D,(J2) > Ui(C,<7₂),

oraz Vt72 7^ (1,0):

Ul(D,<72) > U\(C, (T2)

Uwaga 2.4. Ścisła dominacja implikuje słabą dominację.

Definicja 2.12. Strategia <7j 6 Ej dominuje strategię tji € E, jeżeli

V (7_j € E_j Uj(<7j,C7_j) > Ui{l]i,CT-i)

Stwierdzenie 2.2. Strategia mieszana która dominuje każdą strategię czystą danego gracza, dominuje każdą strategię nieszaną tego gracza.

W szczególności strategia czysta która dominuje każdą inną strategię czystą danego gracza, dominuje każdą strategię nieszaną tego gracza. Dowód wynikający z liniowości wypłat, pomijamy. Uwaga 2.5. Strategia ściśle zdominowana nie może występować w profilu równowagowym (”nie może być grana w równowadze”), gdyż gracz grający tą strategią mógłby podwyższyć swą wypłatę zmieniając ją na ścisłe dominującą.

Usuwając ze zbioru strategii gracza strategię ściśle zdominowaną nie zmieniamy zbioru równowag Nasha. Jeżeli metoda eliminacji strategii ściśle zdominowanych prowadzi do jednego profilu gry, to jest on RN. Nie jest to prawda w przeciwną stronę - w wielu GS istnieją jednoznaczne RN które nie mogą być uzyskane tą metodą.

Uwaga 2.6. Algorytm usuwania strategii ściśle zdominowanych ( wynik nie zależy od kolejności usuwania):

1.    Jeśli nie istnieje gracz który ma strategię ściśle zdominowaną, to stop. W przeciwnym razie przejdź do p. 2.

2.    Usuń tę strategię i powróć do punktu 1.

Przykład 2.8.