6581544265

Ponieważ najlepszymi odpowiedziami bramkarza na x są P i Cz, a L nie jest, strategia optymalna bramkarza jest tą strategią mieszaną używającą wyłącznie P i Cz , przy której napastnik jest indyferentny między strzałem w lewy a prawy róg bramki. Rozwiązaniem jest y_L — 0 , y_P = 0,25 , y_Cz — 0,75. (Lub równoważnie: najbezpieczniejsza strategia bramkarza, przy czym wystarczy szukać wśród tych z y^ = 0).,

(c) Przeciw "starej” strategii optymalnej bramkarza, y , ta dodatkowa strategia daje napastnikowi oczekiwaną wypłatę 0,25, a więc nie obniża poziomu bezpieczeństwa bramkarza. Strategia optymalna bramkarza pozostaje bez zmian, a wobec tego strategia optymalna napastnika (jego najlepsza odpowiedź na y) i wartość gry też się nie zmienią.

12. W trzyosobowej grze "konformiści” gracze równocześnie podnoszą rękę. Jeśli wszyscy podniosą lewą lub wszyscy prawą, każdy otrzymuje wypłatę 0. Jeśli jeden z graczy podniesie inną rękę niż dwaj pozostali - np. jako jedyny podniesie lewą -to płaci po 1 zł obu pozostałym graczom.

(a)    Podać poziomy bezpieczeństwa wszystkich strategii czystych i mieszanych gracza 1. Jaka strategia jest najbezpieczniejsza? Czy układ, w którym wszyscy gracze używają swoich najbezpieczniejszych strategii, jest równowagą Nasha?

(b)    Znaleźć równowagę Nasha, w której gracze nie grają swoich najbezpieczniejszych strategii.

Roziwązanie

(a)    Każdy z graczy ma dwie strategie czyste, L i P. Poziom bezpieczeństwa strategii to jej wypłata w najgorszym możliwym przypadku - czyli wtedy, gdy obaj pozostali gracze zagrają drugą strategię czystą, czyli —2.

Formalnie, poziom bezpieczeństwa dowolnej strategii x = (xl,xp) gracza np. 1 (czystej lub mieszanej) to

/3(x) = min(ui(a:, L, L),u\(x, L, P),u\(x, P, L),ui(x, P, P))

czyli min(ui(x, L, L),u\(x, P, P)), bo ui(x, L, P), ui(x, P, L) = 1 gdy dwaj gracze grają różne strategie czyste, trzeci zawsze wygrywa. Zaś

ui(x,L, L) = 0xl — 2xp ,    u\(x, P, P) = — 2xl + 0xp,

a więc najbezpieczniejsza jest strategia maksymalizująca min(—2xl, —2xp) -xl = Xp = 0,5.

(b)    Wszyscy grają tę samą strategię czystą.