2335501613

1. Wstępne informacje topologiczne

Stwierdzenie 1.6.2.

(1)    Odwzorowanie p : S" —> P”(R), x i—> {x, —x}, jest otwarte i domknięte.

(2)    Przestrzeń P" (IR) jest zwarta.

(3)    Przestrzeń P"(R) jest n-wymiarową rozmaitością topologiczną. 13 Inne uzasadnienie własności (3) znajdziemy w PH23.

Ponieważ ciągły obraz przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, więc:

Stwierdzenie 1.6.3. Przestrzeń P"(R) jest spójna. 3

Nieco inaczej wprowadza się przestrzeń rzutową w geometrii algebraicznej (patrz np. [20] Rozdział 5). W zbiorze Rⁿ⁺¹ \ {0} wprowadzamy relację (typu równoważnoći) ~ następująco:

(xi,...,x_n+i)~(yi,.-.,y_n+i) <=> 3₀^aeRV_ie{_li..._in+1} i/, = axi.

Klasę abstrakcji każdego elementu (xi,..., x_n+i) 6 Rⁿ⁺¹ \{0} (względem tej relacji) oznaczamy przez (xi : • ■ • : x„+i). Rzeczywista przestrzeń rzutowa (n-wymiarowa), to zbiór wszystkich takich klas abstrakcji. Oznaczmy (chwilowo) tak zdefiniowaną przestrzeń rzutową przez P i rozważmy odwzorowanie <p : P —* Pⁿ(R) określone jako

(xi: • • •: x_n+i) i ► {flifl)—pff}*

gdzie x = (xi,..., x_n+i), ||x|| = yjx\ H-----h x²+1. Z łatwością stwierdzamy, że <p jest dobrze określo

ną bijekcją. Topologię na zbiorze P określamy przy pomocy funkcji ip. Podzbiór U C P jest otwarty w P dokładnie wtedy, gdy zbiór <p{U) jest otwarty w P”(R). Odwzorowanie ip ma wiele interesujących własności. Polecamy Rozdział 3 w [2], gdzie znajdziemy dokładniejsze wyjaśnienie omawianego zagadnienia.

Uwaga 1.6.4 ([16] 44). Przestrzeń P²(R) można otrzymać jako przestrzeń ilorazową B²/~, gdzie B² jest dyskiem {(x,y) € R²; x² + y² ^ 1} z topologią indukowaną z R² oraz

x ~ y (x = y) V (x, y € S¹ C B² A x = —y). 3

Uwaga 1.6.5 ([16]). Przestrzeń P²(R) można otrzymać jako przestrzeń ilorazową /ć²/~, gdzie K² jest kwadratem {(x, y) € R²; 0<x<l,0^j/<l}z topologią indukowaną z R² oraz

(x, y) ~ (x', y')    <=>    (x, y) = (x', y')

V {x,x'} = {1,0} Aj/= 1 -y' ^v {y>y'} = {1-0}Ai = i — x'. 3

Uwaga 1.6.6 ([16]). Odwzorowanie F : P²(R) —»R , (x, —x} —* (x²—x², X\X2, xiX3, X2X3), jest ciągłe i różnowartościowe. S

Uwaga 1.6.7 ([16] 45). Jeśli wytniemy z P²(R) mały dysk, to otrzymamy wstęgę Móbiusa. Zatem P²(R) można interpretować jako wstęgę Móbiusa z doklejonym dyskiem. E!

Uwaga 1.6.8 ([16] 95). Jedyną (z dokładnością do homeomorfizmu) rozmaitością zwartą i spójną wymiaru 1 jest sfera S¹. Ponieważ P¹ (R) jest właśnie taką rozmaitością, więc stąd wynika, że przestrzenie S¹ i P¹ (R) są homeomorficzne. El

1.7 Wstęga Móbiusa

Rozpatrzmy cylinder

C = {(x, y, z) € R³; x² + y² = 1, -1 < z 1}

z topologią indukowaną z R³. Niech M będzie rodziną wszystkich dwuelementowych zbiorów postaci {x, —x}, gdzie x € C. Niech p : C —* M będzie surjekcją x ► {x, —x}.